기하학원론 - 가 - 평면기하
유클리드 지음, 이무현 옮김 / 교우사(교재) / 1997년 1월
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<기하학 원론-가>는 유클리드의 <원론Στοιχε?α, 스토이케이아, Elements of Geometry>중 1권부터 4권까지의 내용을 정리한 책이다. '가'에 해당하는 내용은 1권 직선/ 각/ 삼각형, 2권 도형의 넓이, 3권 원, 4권 정다각형의 원을 주제로 논의를 확장시켜 나간다.


<원론>은 앞 뒤의 내용이 체계적으로 연관되어 있는 구조를 가지고 있다. 

각권의 처음은 '뜻매김', '공리', '상식'을 통해 증명을 위한 기본사항을 약속한다. 각 권의 시작에 '뜻매김(정의)'를 통해 이름을 짓고, '공리'를 통해 사실로 받아들여야할 사항을 정리한다. 마지막으로 '상식'은 일반적으로 우리가 받아들일 수 있는 사항들이며, 이들은 증명을 위한 기본 사항이다.


이러한 기본 사항에 동의한 후 우리는 '도형의 작도'를 통해 본격적인 '법칙'을 증명하게 된다. 매 문제 단위로 법칙을 증명하면, 다음 법칙 증명 시 전에 입증한 법칙이 또다른 '상식'으로 다음 증명에 활용된다. 우리가 몰랐던 사실들이 '상식'으로 받아들여지면서, 직선에서 정다각형으로 우리의 '앎'이 나가는 과정이 책의 목차(Index)다. 그래서, <기하학 원론>의 유기적 구성 자체에서 '건축물' 같은 느낌을 받게 된다.



[그림1] 가우디 건축물 (사진출처 : http://blog.daum.net/whitebooks/6039889)


각 법칙을 증명할 때 사용하는 기본 패턴이 존재한다.

예를 들어서, 삼각형의 닮음을 증명할 때는 일단 임의의 점(點)선정, 평행한 선분, 선분의 연장, 내접 또는 외접하는 원을 그려서 증명하는 방식을 취한다. 대부분의 증명방식은 이러한 방식으로 활용하여 증명을 하는데, 사실 내용은 우리가 이미 배운 삼각형의 합동 조건인 SSS합동, SAS합동, ASA합동을 활용한 것이기에 크게 생소하지 않다. 작도를 통한 직접 증명이 어려운 경우에는 '귀류법'을 통해 결론이 모순됨을 보여서 그 역(易)이 성립함을 증명하는 간접증명 방식으로 되어 있다.


많은 사람들이 수학책을 읽는 것을 어렵게 느낀다. 사실, 모든 내용을 완벽하게 이해하기는 어렵다. 그렇지만, 모든 것을 알려고 하기보다는 차근차근 익힌다는 생각을 해야하는 것이 수학에 좀더 친숙하게 다가가는 길이 아닐까 생각해본다.

 우리는  <논어>, <순수이성비판> 등을 한 번 읽고 내려놓지 않는다.  <원론> 역시 이처럼 여러 번 읽는다면 크게 어려운 내용은 아니라는 생각을 해본다. 문학책을 읽듯이 여러 차례 부담없이 읽는다면 '기하학적인 사고'를 읽힐 수 있다는 생각이 든다. 


다만, 그 전에 반드시 문제를 풀면서 나가겠다는 부담을 가지지 않는 것이 중요하다는 생각이 든다. 수험생이 아니라면, 모든 문제를 증명할 필요는 없지 않겠는가? 받아들일 수 있는 사항만 받아들이면서 '고대 그리스 철학자들은 이렇게 생각했구나.'하면서 친근하게 접근한다면 어느새 그들에게 동화될 수 있으리라는 생각이 든다.(고대 그리스 철학자들의 수학적 학습법이 궁금하다면 플라톤의 <메논>을 추천한다.)


그렇게 하다보면 누가 또 알겠는가. 수학에 빠져있는 자신을 발견할지.

다른 사람들은 카페에서 스마트 폰을 꺼내서 게임하는 동안, 가방에서 '컴파스'와 '자'를 꺼내서 취미로 수학문제를 푸는 자신을 발견할 수 있다면 그것도 멋진 일이라 생각한다.(쓰고나서 생각해보니, 주변에서 이상하게 볼 수도 있겠다.)



[그림2 ] 자와 컴파스 ( 사진출처 : http://smart.science.go.kr/scienceSubject/maths/view.action?menuCd=DOM_000000101001006000&subject_sid=286)


PS1. 스피노자의 <에티카>가 어려웠다면, 유클리드의 <원론>부터 훑어보는 것도 하나의 방법이라 생각된다. <에티카>는 마치 <원론>의 인문학적으로 패러디한 느낌이 기 때문에 그 차이를 알면 은근히 재밌다. <원론>의 기본구조를 빼다 박은 구조를 파악하지 못한다면, 마치 말기암환자 수술을 집도하는 의사처럼 <에티카>를 열어보자마자 덮게 될 가능성이 매우 높다.(경험담이다..ㅜㅜ)


PS2. <원론>은 수학책임에도 페이지와 법칙의 순서를 표시하는 곳 이외에는 숫자가 전혀 사용되지 않는다. 때문에 숫자알레르기가 있어서 수학책 못보시겠다는 분들은 이러한 말씀을 이 책에서는 못하실 것이다.



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매너나린 2016-11-02 10:13   좋아요 3 | 댓글달기 | URL
숫자 알러지는 없으나 기하학.도형..넘 어렵고도 먼 얘기입니당~~ㅋ겨울호랭이니임!갑자기 막~~존경스럽습니다~~^^

겨울호랑이 2016-11-02 10:19   좋아요 2 | URL
^^: 사실 내용은 우리가 이미 알고 있는 것 또는 알고 있는데 의식하지 못하는 것들의 내용이 대부분입니다. 다만, 증명을 하는 그들의 접근 방법을 이 책을 통해 아는 것이 좋지 않을까 하는 생각이 들었을 뿐임니다.(저도 사실 존경받을 정도로 알지 못합니다.ㅋㅋ 많이 몰라서 찾아 보는 거지요.) 매너나린님 감사합니다.^^

매너나린 2016-11-02 10:28   좋아요 2 | URL
와~~!문과체질인 저로서는 이과의 학문들 자체가 생경합니당.ㅋ
증명..접근방법..흠..ㅡㅡ점점 더 멋있어 보이려고 그러시는거죠?ㅎ
어려운 책이지만 관심 가질수 있게 알려주셔서 감사합니다~~^^
건강한 하루 되세요!

겨울호랑이 2016-11-02 10:32   좋아요 2 | URL
ㅋㅋ제가 만든 말도 아니고, 유클리드가 책에서 쓴 말이라 부끄럽네요..그리고, 저도 문과(경제학) 출신이라 이과 학문이 어렵지요. 매너나린님 글에 관심가져 주셔서 감사합니다.
오늘도 춥지만 건강한 하루 되세요^^

마립간 2016-11-02 10:54   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
≪원론≫의 형식을 모방한 것들이 ≪에티카≫ 이외에 ≪프린키피아≫, ≪종의 기원≫, ≪자본론≫, ≪순수 이성 비판≫ 등 있습니다. 모두 다 근대의 고전으로 남았고, 읽기 어렵다는 공통점이 있지요.

≪원론≫의 마이리뷰를 보니 반갑네요.

겨울호랑이 2016-11-02 10:59   좋아요 0 | URL
그렇군요..마립간님께서 말씀하신 책 중 아직 제대로 읽어본 고전이 없네요..ㅜㅜ 사실, `<원론>-가`의 내용을 덮어 놓고 다시 해보라고 하면 어려울 것 같습니다. 아직 <원론>도 읽어야할 내용과 익혀야할 내용이 많기에 먼저 <원론>부터 차근히 진도를 나가야겠군요. 항상 좋은 말씀 감사합니다. 마립간님^^:

마립간 2016-11-02 11:26   좋아요 1 | URL
참, 저의 경우 ; 아이의 미래 수학 공부(, 수학의 두번째 관문이 중학교의 논증 기하학)를 위해 아이에게 정삼각형, 정사각형과 같은 간단한 작도는 자와 컴퍼스로 직접하게 합니다.

겨울호랑이 2016-11-02 11:31   좋아요 0 | URL
^^: 제 꿈 중에 하나가 아이와 함께 피타고라스 정리를 같이 증명해보는 것입니다. 그런데, `<원론>_가`를 읽어보니, 갈 길이 머네요. ㅋ 1회독 때는 전체적인 내용 파악 위주로 갔는데, 마립간님께서 말씀하신 것처럼 기본작도를 직접 하는 것이 중요하다는 생각이 듭니다.. <원론>을 읽을 때 자와 컴파스는 필수라는 생각이 듭니다. 감사합니다.^^

해피클라라 2016-11-02 11:20   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
와.. 이런 책이 있었군요!!
덕분에 알게 되네요~ 장바구니로 쏙>_<
감사해요^^

겨울호랑이 2016-11-02 11:25   좋아요 0 | URL
안녕하세요? 해피클라라님

저도 평소 해피클라라님의 어린이 책 소개로 많은 것을 얻습니다. 이번에 해피클라라님께 도움이 되어 기쁘네요. 행복한 하루 되세요^^: 감사합니다.

yureka01 2016-11-02 15:33   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
ㅎㅎㅎ 학교 다닐 때 제도판에 앉아서 제도자와 삼각자로 도면 기초 연습하던 생각이 납니다.
요즘은 세월이 참 좋아져서 뭐 제도고 뭐고 전부다 컴터롤 하니...너무 편리해졌죠...

겨울호랑이 2016-11-02 15:37   좋아요 2 | URL
지금은 CAD 사용을 많이 하는 것 같은데 제 전공이 아니라 맞는지는 모르겠네요. ^^: 예전에는 예쁜 글씨만들려고 펜글씨 학, 서예학원도 있었는데, 지금은 많이 없어진 것 같아요. 컴퓨터 덕분에 결과물은 예쁘게 나오는데, 그게 제대로 습득된 것인가에 대해서는 의문이 들때가 많은 것 같습니다.^^:

심성 2016-11-03 17:34   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
공교육을 들으며 흔히 말하는 수포자 (수학을 포기한 자) 중 한 사람으로써 수학이란 그저 싫고 복잡하고 필요하지 않은 것. 이라고 정의 내리고 생각하기를 포기했었는데 이러한 책들로 흥미를 느끼고 관심을 가진다면 충분히 수학을 좋아할 수 있을 것 같습니다. 이런식으로 소개받지 않는 이상 선뜻 제가 저 책을 뽑아들리는 없겠지만요 ^^;

겨울호랑이 2016-11-03 18:29   좋아요 0 | URL
안녕하세요? 심성님 말씀하신대로 부담없이 책을 그냥 따라만 가더라도 수학에 대한 부담을 많이 줄일 수 있을 것 같습니다. 수험생일때와는 달리 이제는 마음내킬 때 읽어도 되니까요^^: 감사합니다
 
π의 역사 경문수학산책 17
페트르 베크만 지음, 박영훈 옮김 / 경문사(경문북스) / 2002년 1월
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지금도 그렇지만 대학생 때 나는 시(詩)에 대해 잘 알지 못했었다. 그런 내가 어느날 교보문고에서 본 어느 시집 제목이 상당히 인상적이었다.

 

<손끝으로 원을 그려봐 네가 그릴 수 있는 한 크게 그걸 뺀 만큼 널 사랑해>

 

한때 150만부나 팔린 원태연 시집 제목이다. 당시, 이 시집 제목을 보고 "이 사람 선수구나." 라는 생각을 했었다. 이와 같은 고백을 듣고 가슴설레지 않을 사람이 있을까.(물론 이런 표현은 가끔 써야지 자주 들으면 별로 효과도 없을 것이다.)

 

'세상에서 너를 가장 사랑해'라는  이 멋진 말을 수학적으로 따져보면 다음과 같이 나오지 않을까. 

 

한국여성의 평균 키가 162.3cm라 가정(2014년 평균)했을 때, 두 팔을 뻗었을 때의 근사치는 160cm다.  원의 정의를 고려할 경우 이 여성이 그릴 수 있는 원의 크기는 약 509.6cm수준으로 계산된다. 이 원을 제외한 세상의 크기는 무한대에 가깝다. 결국 '무한대 - 509.6cm'만큼 너를 사랑한다는 이야기가 성립하며, 수학에서 말하는 무한대의 극한을 고려하면, '무한대-509.6cm'는 무한대로 수렴한다...

 

* 유클리드 기하학에서 원(圓) 또는 동그라미는 평면 상의 어떤 점에서 거리가 일정한 점들의 집합으로 정의되는 평면도형이다(출처 : 위키피디아)

 

** 원주율(圓周率)은 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽는다

 

결국, '네가 어떻게 해도, 난 너를 무한히 사랑해.'라는 다소 억지스럽고 무리한 수학적 해석을 해본다.  위의 전개 논리중 162.3cm에서 509.6cm으로 가는 과정, 즉 원주율(파이)의 역사를 다룬 책이 <파이의 역사 A History of pi>다.

 

파이의 역사에서는 원주율을 중심으로 수학의 역사를 설명한다. 원주율을 구하는 방법을 크게 기하학적인 방법, 대수학적인 방법, 확률론적인 방법으로 구분하여 각각의 역사를 기술하고 있는데 기본적인 내용과 결론을 요약하면 다음과 같다.

 

기하학적으로 원주율을 구하려는 노력은 아르키메데스의 방법이 가장 대표적이다. 원에 내접하는 도형의 길이를 구해면서 근사값을 산출하는 방법으로 현대적으로는 삼각함수와 소수점을 활용한 방법이다. (p80)

 

 

대수학적으로 원주율을 구하려는 방법은 미적분학과 극한의 개념을 사용하는 방법이다. 여러 방법 중 특히 라이프니츠(1646~1716)에 의해 '라이프니츠 급수'라는 방법으로 새로운 방법론이 제시된다.(p172)

 

원주율(pi) = 4(1-1/3+1/5-1/7+....)

 

그러나, 라이프니츠 급수는 원주율에 수렴하는 정도가 너무 늦었기 때문에, 뉴튼과 오일러 등 여러 수학자들에 의해 새로운 방법이 계속 발견되었다. 특히 오일러는 arctan의 방법을 사용하여 pi의 수치 계산에 종지부를 찍게 된다.(p202)

 

원주율(pi) = 20arctan1/7+ 8 arctan3/79

 

원주율이 초월수(transcendental : 무리수도 아니면서 대수 방정식의 근도 되지 않는 수)라는 사실이 1882년 린데만에 의해 밝혀지면서, 원주율 계산에 확률론적인 방법이 도입된다. 라플라스(1749~1827)에 의해 계산된 방법은 다음과 같다.

 

원주율(pi) = 2L/dP

 

바늘의 길이 L과 선분들 사이 길이 d가 주어졌을 때(일반적으로 L=d), 바늘과 선분이 만날 확률은 충분히 많은 횟수만큼 바늘을 종이 위에 던져 바늘이 선분 위에 놓이는 횟수를 기록하여 정하는 방법이다. (p213)


이러한, 라플라스의 방법은 컴퓨터의 발전과 더불어 빛을 발하는데, 대표적인 방법 중 하나가 경영분석 방법으로도 알려져 있는  '몬테카를로 방법'이다. 원주율 계산은 컴퓨터의 발전과 더불어 초월수이면서 비순환소수인 원주율(pi)의 자리수는 계속 발견되고 있다.

 

이 책에서는 이처럼 수학의 여러 분야에서 '원주율'이라는 주제를 어떻게 풀이하고 있는가를 설명하고 있다. 이를 통해 각 분야의 수학사(數學史)와 더불어 기본 원리에 대해서도 알려주고 있다. 또한, 유클리드의 <원론>에 관한 설명부터, 제논의 역설(아킬레스와 거북이의 경주)이 역설이 아닌 이유에 이르기까지 여러 수학 분야에 대한 이야기를 다루기 때문에 흥미있게 읽을 수 있는 책이다.

 

유클리드의 <원론>에서 5가지 공리에 대한 이야기를 하면서 가장 문제가 되는 5번째 공리없이도 유클리드가 증명한 내용은 성립한다. 때문에, 반드시 5번째 공리가 성립할 필요가 없으며, 오히려 5번째 공리의 붕괴를 통해 '비(非)유클리드 기하학'이 성립되는 과정을 흥미롭게 설명한다. (p62)

 

거북이가 아킬레스보다 10미터 앞에서 출발하는 경주에서 아킬레스가 10미터를 가는 동안 거북이는 1미터를 가고, 다시 아킬레스가 1미터 가는 동안 거북이는 1/10미터를 가는 과정에서 결국 아킬레스는 영원히 거북이를 잡을 수가 없다는 제논의 역설에 대한 본서의 설명은 다음과 같다.

 

'여기에서 걸림돌은 그리스인들이 유한 값에 이르는 무한개의 합을 생각할 수 없었다는 것이다. (p56)'

 

<파이의 역사>를 읽으면서 기하학과 대수학이 다루는 대상이 다를지라도, 비순환소수인 원주율(pi)을 산출하는 방법은 동일하다는 것을 알 수 있었다. 그것은 일종의 '오류법'으로 파이(pi)로 다가가기 위한 포기하지 않는 노력이라 생각된다. 수작업으로 하기에 고통스러웠던 계산과정이었지만, 포기하지 않는 노력은 결국 컴퓨터의 발전을 통해 그 빛을 보게 되었다는 생각이 든다. (2010년 현재 구한 pi자리수는 2조 7천억 자리라고 한다.)

 

그러한 의미에서  원주율(pi)를 구하는 과정은 인간의 역사의 대표적 단면이라는 생각을 하게 된다.

 

PS. <손끝으로 원을 그려봐 네가 그릴 수 있는 한 크게 그걸 뺀 만큼 널 사랑해>에서 화자(話者)의 의도를 청자(聽者)가 안다면, 그 감동의 크기가 줄어들 것이라는 생각이 든다. 이 상황을 소비자의 완전정보하에서의 상황과 불완전정보의 상황과 연계시켜서 생각해보는 것도 재밌을 것 같다.^^:  


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[그장소] 2016-10-02 06:20   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
재미있게 읽고 갑니다 . 시로 가볍게 시작해서 호기심을 끌고 가는 방법 ..이 사람 선수 구나...ㅎㅎㅎ^^ㅋ

겨울호랑이 2016-10-02 07:18   좋아요 2 | URL
안녕하세요? 그장소님.^^ : 즐겁게 읽어 주셔서 감사합니다.
그냥 원주율, 파이 이야기하려니 제가 생각해도 재미가 너무 없어서요..ㅋ 저도 이 글을 쓰면서 오랫만에 옛날 생각을 했습니다. 즐거운 일요일 되세요. 감사합니다. ^^

[그장소] 2016-10-02 10:38   좋아요 2 | URL
덕분에 저도 즐거웠어요 . 고리타분한 수학이 시적 상상에서 연계되는 겨울호랑이님의 발상이
신선하고 재미있었고 ..파이에서 먹는 파이 까지..배도 고파지더라는 ..ㅎㅎㅎ^^ 머리굴리느라...^^

겨울호랑이 2016-10-02 10:48   좋아요 2 | URL
그러고보니 먹는 `파이`도 있네요. ㅋ 그 생각은 못했습니다. 동그란 초코파이와 연계해도 재밌는 리뷰가 되었을 것 같아요. 그장소님의 아이디어 멋지네요!^^:

[그장소] 2016-10-02 11:10   좋아요 2 | URL
별 말씀을요 ..^^ 그러고보니 이미 파이이야기 ㅡ 베스트셀러가 있네요!^^ ㅎㅎㅎ

겨울호랑이 2016-10-02 11:32   좋아요 2 | URL
Life of pie가 있군요 ㅋㅋ 영화화된 작품인걸 보니 파이의 인기가 식을줄 모르네요 ㅋㅋ

[그장소] 2016-10-02 11:34   좋아요 2 | URL
그런 의미로 원주율 반듯하게 잰 피칸파이라도 따근하게 구워 먹어야할 듯한 비오는 일요일 아닙니까? ㅎㅎㅎ 겨울 호랑이님도 촉촉한 시간 보내시면 좋겠네요!^^

겨울호랑이 2016-10-02 11:35   좋아요 2 | URL
그장소님도 행복한 일요일 되세요^^: 감사합니다

yureka01 2016-10-02 08:53   좋아요 4 | 댓글달기 | URL
리뷰 풀어가는 방식이 흠미에서 확장되어져 가는 원리가 숨어 있어요..고단수의 리뷰입니다.^^..멋쪄요 ㅋ^^

겨울호랑이 2016-10-02 09:16   좋아요 3 | URL
유레카님 감사합니다^^: 그저 하다보니 결과적으로 그리되었네요 ㅋ 재밌게 읽어 주셔서 감사합니다. 행복한 하루 되세요^^:

[그장소] 2016-10-02 11:39   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
😆😆👌👍네네 ~^^ 저도 감사합니다~!^^

기억의집 2016-10-02 11:43   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
이 글 읽으니 갑자기 생각난 건데... 제가 아인슈타인의 상대성이론을 작년에 계속해서 읽었어요. 어느 날 울아들이 책을 흝어보더니 아인슈타인은 천재라 생일이 원주율이네, 이러더라고요. 뭔 소리인가 봤더니 1879년 3월 14일생~ 그렇게 숱하게 아인슈타인 책을 읽으면서도 저는 깨닫지 못 했는데 책하곤 담 쌓은 아들은 단박에 알아보더라구요~

겨울호랑이 2016-10-02 11:53   좋아요 0 | URL
그렇군요. 훌륭한 아드님을 두셨네요. 저 같으면 `화이트 데이에 태어났네.` 하고 넘어갔을텐데요 ㅜㅜ; 과학에 흥미있는 친구 같네요 ^^: 기억의집님 행복한 하루 되세요

기억의집 2016-10-02 12:22   좋아요 1 | URL
전혀 과학에 흥미 없어요. 우리집에서 유일하게 저만 책 읽어요. ㅠㅠ

겨울호랑이 2016-10-02 12:30   좋아요 0 | URL
아인슈타인도 어려서는 인정 못받았지만, 공기업인 스위스 특허청에 재직중 상대성이론을 세운 것을 생각하면 아드님도 나중에 큰 과학자가 될 수 있지 않을까요?^^:

비로그인 2016-10-02 12:39   좋아요 2 | 댓글달기 | URL
보자마자 3.14...부터 읊었습니다.
수학에 흥미있는 사람들에게 추천해주고 싶네요.

겨울호랑이 2016-10-02 12:42   좋아요 1 | URL
감사합니다^^: 알파벳님 저도 수학의 새로운 면을 요즘 많이 발견하게 됩니다. 정답을 맞추려는 마음만 비워도 훨씬 재밌는 분야인 것 같아요. 알파벳님 행복한 일요일 되세요. 감사합니다^^
 

오전에 빵을 사고 집으로 왔습니다.

차를 주차하고 집으로 들어가는 길 배수로에 낯선 것이 보여 보니, 고양이가 끼어 있었습니다. 놀라서 보니 이미 몸이 경직된 채 죽어있었습니다..

요새 뱀이 많이 나와 뱀에 물렸는지 상당히 경직되어 있었습니다. 아니면 나이가 많아 죽었는지도 모르겠네요. 낯선 녀석은 아니어서 곰곰히 생각해보니 가끔 차 밑에서 나와 저를 놀라게 했던 녀석입니다.

며칠전 고양이 소리가 밤에 들렸는데, 이 고양이 소리였던 것 같습니다.. 혹시 배수로에 끼어 살려달라는 애절함이 담긴 울음은 아니었는지 미안한 마음이 드네요..

아내와 상의해서 딸과 함께 앞쪽 작은 산에 묻어주었습니다. 딸아이는 고양이가 추워 웅크리고 잠을 자고 있다네요.
아내는 할머니 고양이가 추워하니 흙이불을 덮어주자고 말합니다.

아내는 신문지로 염을 한 후 고양이의 눈을 감겨 주고 같이 올라갔습니다. 나는 그 사이 이 군 생활이후 거의 처음으로 삽질을 했습니다. 그렇게 작은 고양이 무덤이 생겼습니다.

오늘 이렇게 딸아이에게 `죽음`을 보여 주었습니다. 아이가 오늘 본 것을 어떻게 받아들일지는 모르겠습니다. 그래도 `헤어짐`에 대해 작은 기억으로 남을 것 같습니다. 아내와는 이 부분에 대해 이야기했습니다. `죽음`을 보여줘도 좋은지에 대해.

`죽음` 이라는 문제는 성인이 된 제게도 무거운 문제입니다. 마음이 가볍지는 않네요. 다만, 녀석의 눈이 감겼으니 조금은 편안해졌으리라는 생각을 해봅니다.

내일부터 일주일간 제주도 출장입니다. 7시30분까지 목포항까지 가려니 새벽 2시에 나가네요 ㅋ 일정이 촉박하지만 시간이 되면 전에 말씀드린 `제주 4.3` 정리해 볼까합니다. 즐거운 오후 되세요^^


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2016-09-25 14:39   URL
비밀 댓글입니다.

2016-09-25 14:43   URL
비밀 댓글입니다.

2016-09-25 14:40   URL
비밀 댓글입니다.

2016-09-25 14:46   URL
비밀 댓글입니다.

곰곰생각하는발 2016-09-25 15:11   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
아, 마음이 아프네요.. 저도 개를 키우는 입장이라 짐승 죽은 것 보면 남의 일 같지도 않고..

겨울호랑이 2016-09-25 15:18   좋아요 0 | URL
네..어느 죽음이든 가슴아픈 것이라는 것을 다시 느끼게 되네요

시이소오 2016-09-25 17:25   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
저같으면 그냥 귀찮아서 모른척 했을텐데 좋은 일 하셨네요.

겨울호랑이 2016-09-25 17:43   좋아요 0 | URL
집 근처에서 맞이한 죽음인데 차마 모른 척할 수 없더군요...

코코넛 2016-09-25 18:55   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
어쩌다 저런곳에서 죽어있는지 ㅜㅜ 동물 시체라서 무서웠을수도 있는데 아이가 씩씩하네요.

겨울호랑이 2016-09-25 18:58   좋아요 0 | URL
네..쥐약을 먹었을 수도 있을거 같기도 하고, 나이가 있어 죽을 곳을 찾아갔는지는 모르겠으나 외상은 없어서 아이가 죽었다는 생각은 안하더군요.
감사합니다.

사마천 2016-09-25 20:31   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
가을 제주도, 멋지네요. 좋은 추억 만드시기를 ^^

겨울호랑이 2016-09-25 20:42   좋아요 0 | URL
감사합니다, 사마천님도 좋은 일 가득한 한 주 되세요^^

꿈꾸는상추꽃 2016-09-26 00:08   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
잘못 들어갔다가 나오는 곳을
찾지 못했던걸까요?ㅠㅠ 마음이 아프네요...
겨울호랑이님 좋은일을 하셨어요~~

겨울호랑이 2016-09-26 01:58   좋아요 0 | URL
감사합니다 꿈꾸는상추꽃님
저도 다른 일이 아닌 노화로 인한 죽음이었으면 합니다.. 또한 동물들이 많은 위험에 노출된 것을 생각하게되는 계기도 되었네요..
 
수학독본 1
마츠자카 가즈오 지음, 김태성 옮김 / 한길사 / 1994년 1월
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<수학독본1> 은 마츠자카 가즈오가 저술한 대수학 기초개념을 다룬 책이다.

이 책을 구입한 시기는 벌써 10년 가까이 되었으니, 정말 오랫동안 내 곁에서 묵묵히 기다려준 과묵한 친구다. 사실, 전혀 읽지 않은 것은 아니었다. 적어도 2권까지는 끝까지 다 읽었고, 예시된 문제를 다 풀었고 넘어갔다.

 

<수학 정석>에서 모든 학생들의 책에서 공통적으로 손때가 묻은 부문은 '집합'부문이다. 미적분학 또는 삼각함수 부문보다 상대적으로 쉬운 파트이고, (사실, 우리가 쉽게 생각하는 집합 부문도 논리학과 연계되면 난이도가 급상승한다. 언어학적인 면이 부가되기 때문에 어떤 면에서는 더 까다롭다는 생각이 든다.), 작심삼일(作心三日) 시 재시작을 언제나 처음으로 하기 때문이리라. 마찬가지로, <수학독본>시리즈를 다시 읽기 시작할 때마다 <수학독본1>부터 읽었으니, 최소 5~6회독을 했으리라. 다만, 그 이후 매일 문제를 풀기 어려운 상황에서 매번 공식을 다시 암기하고 책을 읽으려는 일이 많아지게 되었다는 것이 문제였다. 그러다 보니 흥미가 많이 떨어져 책을 읽는 속도 역시 자연 감소하게 되었고, 서서히 뒤로 밀리게 되었다.

 

다시 수학책을 집어들게 된 계기는 '철학'과의 연계성 때문이었다. 그리스 철학에 있어서 '기하학'에 대한 이해 없이는 많은 부문을 놓치게 되는 것 같다. 특히, 피타고라스에게 많은 영향을 받은 플라톤의 저서에서는 그런 사실을 절감하게 된다. 이러한 필요성의 관점에서는 유클리드의 <원론>을 시작하는 것이 순서겠으나, 일단은 수의 기초인 대수학부터 시작하자는 마음에 이미 가지고 있는 <수학독본>을 재독(再讀)하게 되었다. 'mathematical mind' 는 기하학과 대수학이 큰 차이가 없기 때문이라 생각했기 때문에 내린 결정이었다.

 

이번에 <수학독본>을 읽으면서 얻게 된 가장 큰 소득은 내용보다 '수학을 대하는 자세'를 발견했다는 사실이다. <수학독본>을 펼치고 자연스럽게 연습장과 연필과 지우개를 챙기는 내 자신을 보면서나의 문제점을 발견하게 되었다.

 

내 문제는 공부하는 목적을 제대로 잡지 못한 것에서 오는 것이었다. 나는 수험생이 아니고, 서양 사상의 근간을 이루는 'mathematical mind'을 알고자 공부를 하는 것인데, 왜 과거 수험생처럼 준비를 하는 것인지. 계산이 필요하면 더 좋은 Excel program을 활용하면 될 것이고, 계산 오류에 신경쓰기보다 더 근원적인 문제를 고민해야 하는 것이 맞지 않은가.

 

책에 대한 접근을 다시 할 필요가 있었다.

 

이 책에서 다루고 있는 내용은 수, 식, 방정식과 부등식이다.

말 그대로 대수학의 기초 개념이고, 대부분의 사람들들이 읽으면 오랫만에 수학을 다시 접했다고 해도 충분히 이해할 수 있는 내용이다. 만약, 책의 내용에만 충실하다면 흥미를 가질 수 없다. 등산을 하겠다고 정식 등반장비를 갖추고 호기롭게 산에 올랐으나, 그 산이 Tracking course의 산같은 느낌이라고 할까. 적어도 <수학독본1>을 즐겁게 읽기 위해서는 자신의 삶과 연계시키는 것이 필요할 것 같다. 내가 이 책을 읽으면서 생각하게 된 내용을 몇 가지 적어본다.

 

1. 허수의 의미

 

자연수와 0은 우리가 일상 생활에서 셀 수 있는 수의 개념이다. 이를 통해 '있음(有)', '없음(無)'을 표현할 수 있게 되지만, 부족함을 표현할 수는 없다. 부족함을 표현하기 위해 음수가 도입되었고, 분수 단위로의 표현(정수가 아닌 유리수)은 일상생활의 대부분을 표현할 수 있게 만들었다. 그렇지만,  삶의 전체를 표현하는데는 한계가 있다.

 

'유리수의 조밀성'때문이다.

 

우리의 세계는 '점'만으로 구성된 것이 아니라 '선(線)'으로도 표현된다. 유리수는 직선에서 '점(點)'으로 대칭이 되고, '선'을 표현하는데 '점'은 한계가 있다. 이러한 차원의 극복을 위해 도입이 된 개념이 '무리수'다. 그리고, 이를 통해 1차원 '선'을 온전하게 표현할 수 있게 된다.

 

그렇다면, 허수는 어떤 의미가 있을까?

 

사실, 난 '허수(虛數)'에 대해 잘 알지 못한다. 단지, '제곱해서 음수가 되는 수'를 허수라고 의미한다는 것과 허수라는 개념을 통해 '방향'을 표시하고, 새로운 차원의 표현이 가능하다는 것 정도를 조금 이해할 뿐이다. 허수는 물리학에서 어떠한 의미가 있을까? 이 부분에 대해 추가적으로 공부해야겠다.

 

2. 교환법칙 a+b=b+a

 

수학 시간에는 당연하게 받아들이고 생각했던 공식이다. 굳이 외울 것도 없는 공식이지만, 교환 법칙을 자세히 들여다 보면 수많은 약속이 숨겨져 있다.

 

가. 'a'와 'b' 사이 '+'에는 시간적인 개념이 없다. 거의 동시적인 개념이다. 만약' 시간적인 개념이 있다면 '+'되는 동안 'a' 또는 'b'가 소멸해버릴 수 있을 것이고, 더해질 수 없으리라. 또는 금융학적으로 '1년'이라는 시간이 흐른다면 양 식을 같게 해주는 적절한 할인율(r)이 필요할 것이다.

 

나. 'a'와 'b'에서 둘의 위치는 동등하다. 
현대자동차가 기아차를 인수해서 현대자동차 그룹이 되었다고 하자.

 

현대자동차 + 기아차 = 현대자동차그룹

 

이러한 내용에 교환법칙이 성립한다면 다음과 같은 내용으로 쓸 수 있을 것이다.

 

현대자동차+ 기아차 = 기아차 + 현대자동차

 

그렇지만, 이 식으로는 현대자동차가 기아차를 인수했는지, 기아차가 현대자동차를 인수했는지를 알 수 없다. 다만 둘이 하나가 되었다는 결과만 알 수 있을 뿐이다. 결국, 교환 법칙은 a,b 가 완전히 동일하고 호환가능하다는 전제하에 성립이 되는 법칙이다.(실제 생활에 적용은 지극히 제한된 이상세계(Idea)에서나 가능한 내용이다.)

 

3. y= ax+b

 

이 식은 'y'는 'x'에 의해 어떻게 설명되는 것인가를 보여준다. 사회과학에서 사용하는 회귀분석, 상관분석에서 구하는 것은 바로 x와 y가 관계있는 정도인 'a'다. 그리고, 기본적으로 이를 사용해서 modeling(모형구축)을 하게 된다.

자신이 세운 가설에서 수많은 관찰과 실험을 통해 요인들을 변수 또는 상수의 위치에 놓고 가장 적합하다고 생각되는 모형을 바탕으로 자신의 이론을 정립한다. 그 과정에서 새로운 변수가 투입되기도 하고, 탈락하기도 한다.


가장 대표적인 경우가 코페르니쿠스의 '지동설'이다.
코페르니쿠스의 '지동설'은 프톨레마이우스의 '천동설'보다 더 적은 변수(회전원)을 가지고 천체운동을 설명했기 때문에, 보다 더 설득력있는 모형으로 받아들여졌다..

이렇게 보면 y=ax+b 도 쉬운 내용이 아니다.

 

이번에 수학독본을 읽을 때 이처럼 기본 개념을 가지고 접근을 하니 2가지 장점과 1가지 단점이 드러난다. 2가지 장점 중 하나는 계산오류가 없다는 것이고, 다른 하나는 재밌게 수학에 접근할 수 있다는 것이다. 여기에 따르는 한가지 단점은 진도가 안나간다는 것이다...

 

비록 진도는 나가지 않지만, 수험생도 아니고 일반인들이 스트레스를 받아가며 문제를 풀 필요는 없지 않은가. 생각보다 수학은 재밌는 친구일 수 있는데, 우리에게는 부담스러운 넘사벽 '영수(英數)'로 남아있는 것은 아닌지 생각해보는 계기가 되었다.

 

PS. <수학독본2>는 아마도 <파이브 스타 스토리> 다음편이 나올 때쯤 다 읽을 것 같다.

 


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yureka01 2016-09-25 09:03   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
수학책 리뷰,,신선한데요 ^^..

겨울호랑이 2016-09-25 09:11   좋아요 0 | URL
^^: 좋은 아침입니다,유레카님. 네 수학책 리뷰는 거의 없지만, 덕분에 편하게 개인 생각을 쓸 수 있어 좋네요 ㅋ 감사합니다.

yureka01 2016-09-25 09:54   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
ㅎㅎㅎ네..오늘 아침에 고령 대가야 사진 찍으로 갈려구요. 맞습니다.다양한 분야의 리뷰가 자주 올라 왔으면 읽을 게 많거든요.^^.늘 매인 매대에 올라 오는 책이 리뷰 자주 보이면 재미 없더군요.ㅎㅎㅎ

겨울호랑이 2016-09-25 10:08   좋아요 2 | URL
^^: 좋게 읽어 주셔서 감사합니다. 대가야 고분군으로 가시나봐요. 가야문명은 우수한 철기문명임에도 제대로 조명받지 못하는 것 같습니다.^^: 좋은 사진과 함께 멋진 시간 되세요 유레카님^^:

초딩 2016-09-25 13:25   좋아요 1 | 댓글달기 | URL
아!!!!!!! 완전 좋아요!!!!

겨울호랑이 2016-09-25 13:38   좋아요 0 | URL
^^: 초딩님 감사합니다! 혹시 어디가 좋은지도 알려주시면 더욱 감사하겠습니다 ㅋ 편한 오후 되세요(농담입니다^^)

초딩 2016-09-25 13:51   좋아요 1 | URL
생각의 탄생 초반부에 이야기한 `수학을 실생활에 적용할 수 있어야한다`에 목말라 하고 있었습니다. 그리고 공식보다 정의와 원리에 대해 정리된 책이 없나 찾고 (기다리고?) 있었어요 :-)

초딩 2016-09-25 15:48   좋아요 1 | URL
사실 실생활 할 것 없이 초딩의 일에도 직접 관련이 있는 수학인데 팔요할 때만 본거 같아 또 반성도 하게 되었습니다 :-) 너무 좋아 감탄사성 댓글만 남겼었네요 ㅎㅎ 밥 먹고 왔어요~

겨울호랑이 2016-09-25 14:00   좋아요 1 | URL
아 그렇군요^^: 좋은 말씀 감사합니다. 초딩님 ! 괜찮으시다면 경문사에서 나온 「수학산책」시리즈가 좋을 것 같아 감히 추천드립니다. 수학의 다양한 부분에 대해 일반인 대상으로 정말 재밌게 풀었어요. 제가 적은 `산수` 수준이 아닌 정말 `수학` 이야기가 담겨 있네요. ㅋ 저도 보는 중입니다. 댓글에 감사드리며 즐거운 오후 되세요^^

초딩 2016-09-25 14:09   좋아요 1 | URL
이규봉 저자의 경문가 ˝수학의 산책˝ 말씀하시는거죠? 우아 경문사에 수학 관련 흥미로운 책이 굉장히 많군요!!!! 완전 감사드립니다. 듬뿍 사고 싶네요 :-)

겨울호랑이 2016-09-25 14:26   좋아요 1 | URL
^^: 초딩님께 도움이 되어 좋네요 즐거운 일요일 오후 되세요^^:
 
문명과 수학
리처드 만키에비츠 지음, 이상원 옮김, 김홍종 감수 / 경문사(경문북스) / 2002년 2월
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품절


<문명과 수학>은 여러 문명권의 수학사 소개와 현대 수학과 여러 학문 분야와의 관계를 소개한 책이다. 특히, 유럽 문화권과 현대 문명에 미치는 수학의 영향을 중점적으로 다루고 있으며, 수학의 주요저서인 유클리드의 <원론> 과 뉴턴의 <프린키피아>의 내용 요약과 수학사적 의의등이 담겨 있는 책이다.


이 책에 소개된 주요 문명은 유럽 문명 외에 이집트 문명, 중국 문명, 인도 문명, 이슬람 문명, 마야 문명 등이 소개되고 있다. 그렇지만, 다른 문명에 대해서는 간략한 언급 또는 유럽 문명과 관련있는 부분으로 분량이 제한되기 때문에 이 책의 제목 중 하나인 문명(文明)의 비중은 매우 약하다.


 이 책에 흐르는 전반적인 흐름은 수학(數學)이다. 그중에서도 비(非)유클리드 기하학과 미적분학의 등장으로 인한 현대 수학으로의 발전이 주요 내용이 된다. 책의 주요 내용은 다음과 같다.


그리스 시대 이래 수학은 기하학과 대수학이라는 양대 부분으로 갈라져 있었다. 하나는 크기를, 다른 하나는 수를 다루었지만 완전히 분화될 수는 없었고, 문명의 관심에 따라 어느 한 부분을 강조할 수 밖에 없었다.(p104) 상호 밀접한 관련이 있는 수학의 두 분야는 기하학에 있어서는 비유클리드 기하학의 등장과 대수학에 있어서는 미적분학의 등장을 통해 혁신의 계기가 마련된다.


1. 기하학의 발전 : 비(非)유클리드 기하학


유클리드 <원론> 은 자와 컴퍼스라는 기본적인 도구로 전체 체계를 논리를 만들어냈으며, 그 중에서도 원과 직선은 가장 완벽한 형태였다.(p43). 유클리드는 5개의 공준과 5가지의 일반개념을 통해 그의 체계를 완성하였고, 유클리드 기하학은 오랜 기간 기하학의 중심에 있었으나, 데카르트 때부터 그의 기하학은 도전을 받게 된다.


데카르트는 <방법 서설>의 부록으로서 <기하학>을 저술했으며, 이를 통해 대수학과 오늘날 해석 기하학이라고 부르는 기하학 영역이 결합되는 기회를 제공했다.... 데카르트는 자와 컴퍼스를 통한 작도라는 제약으로부터 기하학을 해방시킨 것이다.(p110)


본격적인 유클리드 기하학의 극복은 그의 기본적인 공준 중 다섯번째 공준인 평행선 공준이 모순임을 밝히는 것으로부터 시작된다. 


'두 개의 직선 위를 가로지르는 직선에서 같은 쪽에 만들어진 내각의 합이 두 직각보다 작다면 두 직선이 무한히 연장될 경우 두 직각보다 작은 각이 생겨난 그 쪽에서 서로 만나게 된다.' - 평행선 공준 - 


로바체프스키가 <기하학의 원리>(1829)를 펴내면서, 비(非)유클리드 기하학이 본격적으로 태어나게 된다. 이후 가우스, 볼리아이, 리만 등에 의해 유클리드 기하학이 '절대 기하학'에서 '가능한 수많은 기학학' 중 하나의 위치로 내려오게 된다. 그리고, 비유클리드 기하학 중 하나가 '프랙탈 기하학'이다.




'유클리드 기하학에 비해 자연의 많은 유형은 훨씬 덜 규칙적이고 단편적이라고 말할 수 있다. 자연은 그저 더 높은 차원이 아닌 전체저으로 완전히 다른 복잡성 수준을 가진다. 다양한 자연 유형들을 실제 응용할 수 있는 가능성은 무한히 크다. 이들 자연 유형의 존재는 우리로 하여금 유클리드가 '형태 없음'으로 인식해 제쳐두었던 형태를 연구하고 '무정형(amorphous)'의 정형성을 탐구하게 했다. 나는 프랙털이라는 개념을 라틴어 형용사인 fractus에서 가져왔다... 과학자들은 이제껏 입상(粒狀), 히드라 형, 울퉁불퉁형, 분지(分枝)형, 해초형, 엉킨형, 비틀린 형, 주름형 등으로 불러왔던 많은 것들이 앞으로 양적으로 다루어질 수 있다는 사실에 분명 놀라고 또 기뻐하리라 생각한다.'(p251)  -브누아 만델브로, <자연의 프랙탈 기하학>,1977 - 


특히, 프랙탈 기하학은 비정형성을 연구하는 분야로 위의 글을 읽으면서 물리학의 하이델베르크의 불확정성 원리가 연상되었다. 19세기 이후 과학의 여러분야에서는 많은 변화가 있었다. 물리학에 있어서는 고전물리학의 확정성을 양자물리학의 불확정성이 대체했다. 천문학에서는 '신(神)에 의해 창조된 단일한 우주(단일우주론)' 대신, 11개 차원의 '다중 우주론' 이 새로운 이론으로 제시되었다. 이와 같이 기하학에 있어서도 '정형'에서 '비정형'으로 나가는 변화가 최근 이루어졌다는 생각이 든다.


2. 대수학의 발전 : 미적분학의 등장


미적분학은 라이프니치와 뉴튼에 의해 본격적으로 제시된 방법론으로 이를 통해 운동을 측정하는 개념인 속도, 무한 개념을 발전시키게 된다. (이 책에서 대수학은 기하학에 비해 할당된 내용이 적은 편이다.)


'18세기 중반부터 이루어진 미적분학의 발전은 물리 현상, 특히 운동에 대한 수학적 분석과 함께 연결되어 있다. 여기에는 열역학, 천체역학, 유체역학, 빛과 전기, 자기에 대한 연구 등이 포함된다.'(p186)


3. 기하학과 대수학의 통합


'윌리엄 로완 해밀턴( William Rowan Hamiton)이 가장 크게 흥미를 느꼈던 주제는 공간과 시간이 서로 분리가 불가능할 정도로 밀접하게 연결되었다는 것, 그리고 공간에 대한 학문인 기하학과 시간에 대한 학문인 대수학 또한 그런 관계라는 것이다. ' (p181)


해밀턴과 같은 이들의 연구로 인해 현대수학은 기하학과 대수학이 통합하여 발전하게 되었고, 이러한 변화는 여러 분야에 영향을 미치게 되었다. 대표적인 성과는 1873년 맥스웰의 <전기와 자기에 대한 연구>를 출판하면서, 전신과 무선 통신 분야에서 급격한 변화를 들고 있다. 이 책에서는 이러한 큰 흐름 이외에도 사회과학과 확률이론, 게임이론, 현대 미술, 알고리즘, 카오스 이론, 복잡계 수학 등을 책에서 사진과 함께 다루고 있다. 


이 책을 통해서, 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 차이와 최근 수학 이론의 동향(프랙탈 이론 등)에 대해 알 수 있었다. <문명과 수학>에 소개된 내용이 교양 수준이기 때문에, 보다  깊이 있는 공부가 필요하겠지만, 수학사(數學史)의 개략적인 내용이 잘 정리되어 있다는 점에서 읽을만한 수학입문서라 생각된다. 


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2016-09-22 16:36   URL
비밀 댓글입니다.

2016-09-22 16:39   URL
비밀 댓글입니다.