수식에서 파악되는 언어적 구조 / 논의의 확대

산수의 기초 ㅣ 대우고전총서 8
고트롭 프레게 지음, 최원배 외 옮김 / 아카넷 / 2003년 3월

<산수의 기초 Grundlagen der Arithmekik>는 고트롭 프레게(Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)가 저술한 수학철학서다. 책 내용은 책 제목처럼 기초적인 내용을 대상으로 한다. 그렇지만, 수리철학의 기본내용에 대한 깊이있는 고찰과 프레게 이전의 철학자들의 사상에 대한 비판을 담고 있기 때문에 수리철학에 대해 사전이해가 없다면 내용이 어려울 수도 있다는 생각을 하게 된다. 이번 리뷰에서는 프레게가 결론 부분에서 정리한 요약 내용을 중심으로 <산수의 기초>의 전체 내용을 살펴보도록 하자.

1. [1절 ~ 64절]의 내용 요약 : 재인식 대상으로서의 수

  프레게에 따르면 수(數)는 독립적으로 파악되는 것이 아니라 관계에 의해 파악되는 개념이다. ‘1+2=3’ 이라는 수식(數式)은 ‘I am a boy’와 마찬가지로 언어적인 관계성을 가지며, 우리는 이러한 관계 속에서 수를 재인식하게 된다.

‘우리는 수(數)가 사물들의 무더기도 아니며, 무더기의 성질도 아니라는 것, 그렇다고 해서 수가 심리 과정의 주관적 결과도 아니라는 것, 그리고 수 진술은 개념들에 관해 객관적인 것을 서술한다는 것을 확립한 다음, 먼저 개별 수 0,1 등과 수 계열에서 앞에 나옴을 정리하려고 하였다... 산수에서 다루어지는 수는 비자립적인 수식어가 아니라 명사적인 것으로 파악되어야 한다는 사실이 드러났다. 따라서 수는 물리적인 것이 아니고, 단지 공간적인 것도 아니며, 우리가 상상력을 통해 어떤 영상을 그릴 수 있는 것도 아니지만, 수는 재인식될 수 있는 대상으로 보인다.(p231)’

  수에 있어서 재인식(再認識)의 문제는 등식을 통해 제기된다. ‘1+2=3’이라는 수식에서 등식 왼편과 등식 오른편을 대응시키는 것이 수식에 대한 재인식 판단 내용이 된다.

‘대상마다 뜻을 지녀야 할 한 가지 종류의 문장이 있는데, 그 문장은 재인식 문장이며, 수의 경우에는 등식이라 불린다... 수 낱말이나 ’수‘라는 낱말을 사용하지 않고, 수에 관한 등식의 뜻을 고정하는 것, 그 뜻을 표현하는 것이 중요하다. 우리는 개념 F 아래 속하는 대상들과 개념 G 아래 속하는 대상들을 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다는 것이 수에 관한 재인식 판단의 내용임을 알게 되었다.(p232)’

2. [65 ~ 69절]의 내용 요약 : 수식에서의 개념의 외연

  수식의 왼편과 오른편을 대응시키는 과정을 재인식이라고 할 때, 왼편과 오른편은 약속된 형식을 갖춰야 한다. 그리고 이러한 일정한 형식 조건을 만족시켰을 때 우리는 수식의 참(True)과 거짓(False)을 판별할 수 있다.

‘우리는 언제 재인식 판단의 내용을 파악했다고 할 자격이 있는가? 그런 자격을 갖추기 위해서는, 모든 판단에서 그 판단의 진리를 손상하지 않고 탐구 중에 가정된 등식의 왼편의 것을 오른편 것으로 바꾸어 넣을 수 있어야만 한다... 재인식 문장은 언제나 뜻을 지녀야 한다. 등식의 한쪽만이 형식을 가질 경우, 우리는 정의에 따라서 그 등식이 참인지 거짓인지 판단할 수 없다.

개념 F에 귀속되는 기수는 “개념 F와 동수인 개념”이라는 개념의 외연이다. 여기서 우리는 개념 F와 개념 G를 양쪽으로 일의적으로 대응시킬 수 있다면, 그 두 개념을 동수(同數)라고 한다.(p233)’

3. [70 ~ 86절]의 요약 : 논의의 확장

  수식의 대응 관계를 논리적 관계로 바꾸면서 우리는 참, 거짓을 판별할 수 있다. 그리고, 우리는 임의의 수 n 다음에 n+1이 나온다는 사실을 통해서 수학이 논리학의 보편성을 가지고 있다는 사실과 함께 수학적 논의를 확장시킬 수 있게 된다.

‘양쪽의 일의적 대응을 순수 논리적 관계로 환원하였다. 그러고 나서 다음 문장의 증명을 암시하였다. : 개념 F가 개념 G와 동수일 경우, 개념 F에 귀속되는 기수는 개념 G에 귀속되는 기수와 같다. 그 다음 우리는 0, “n은 자연적 수 계열에서 m 바로 다음에 나온다.” 는 표현, 그리고 수 1을 정의하고서, 1이 자연적 수 계열에서 0 바로 다음에 나온다는 사실을 분명히 보여주었다.

자연적 수 계열에서 모든 수 다음에는 어떤 수가 나온다.

이를 위해 우리는 “n으로 끝나는 자연적 수 계열에 속하는”이라는 개념을 도입하고서, 그 개념에 귀속되는 기수가 자연적 수 계열에서 n 바로 다음에 나온다는 것을 보이려 했다... 이를 통해 보통 수학의 고유한 추리 방법으로 간주되는 n으로부터 (n+1)로의 추리 방법이 논리학의 보편적인 추리 방법에 근거하고 있음을 증명할 수 있었다.(p234)’

‘이제 수 계열의 무한성 증명을 위해 우리에게 필요한 문장은 어느 유한한 수도 자연적 수 계열에서 자기 자신 다음에 나오지 않는다는 것이다. 이렇게 해서 우리는 유한 수 및 무한 수 개념에 도달하였다.(p235)’

4. [87 ~ 105절]의 내용 요약 ： 형식주의 비판

  이상의 논의(수학의 구조는 언어적 구조를 가진다는 사실과 재인식을 통한 참, 거짓의 인식, 그리고 수의 개념 확대 등)로부터 우리는 인식론(認識論)에 대해 다시 생각해 볼 수 있다. 안셀무스(Anselmus Cantuariensis, Anselm of Canterbury, 1033 ~ 1109)의 신 존재 증명의 기본 가정(그것보다 더 큰 것을 생각할 수 없는 어떤 것)과 같이 임의의 가정으로부터 도출된 증명은 논리적인 증명이 아님을 우리는 확인할 수 있다.

[그림] 켄터베리의 안셀무스(출처 : 위키백과)

‘이제 앞의 논의로부터, 산수의 진리들이 분석적이고 선천적인 본성을 지녔을 확률이 높다는 점이 드러나게 되었다. 그리고 우리는 칸트의 견해에 대한 개선을 이루었다.(p235)’

‘끝으로 우리는 우리의 결과를 형식주의자들의 음수, 분수, 무리수, 그리고 복소수 이론을 비판하는데 사용하였고, 이런 비판을 통해 그들의 이론이 성공할 수 없다는 사실이 분명하게 되었다... 형식주의 이론이 상상하는 바에 의하면, 우리는 가정을 하기만 하면 된다. 그러면 그 가정이 충족되었다는 것은 당연한 것으로 여기게 된다. 그들은 마치 자기에게 필요한 것을 말만으로도 창조될 수 있는 신(神)처럼 행세한다.(p236)’

<산수의 기초>를 읽고난 후 수학(數學)과 언어학(言語學)의 관계에 대해서 생각하게 된다. ‘I am a boy’라는 언어적 구조와 ‘1+1=2’라는 수리적 구조가 같다는 사실을 통해서 우리는 서양 문명에서 수학의 중요성에 대해서 생각해 본다. 조금 더 나가서 여기서 I와 boy의 관계(충분조건, 필요조건 등)에 대해서도 추가적으로 생각하게된다. 또한, 내가 여자일 경우에 거짓이 되는 이 문장의 참, 거짓 문제 역시 보다 일반적으로 적용되는 수식과는 차이가 있기에 추가적인 논의의 대상이 될 수 있을 것 같다. 다른 한편 위의 문장(I am a boy)에서 boy가 I의 여러 속성을 설명하는 술어 개념이라면 추가적으로 I am rich, I am wise 등과 같이 I를 설명하는 수많은 추가 서술이 가능할 것이다. 이런 추가적인 서술이 가능한 문장과 ‘I am Who I am’(이 문장은 자체로 추가적인 서술이 전혀 필요하지 않다.)과는 또 어떤 차이가 있는 것인지에 대해서도 생각을 해보게 되었다.  이처럼 <산수의 기초>에서 논의된 내용을 통해서 여러 생각들이 들지만, 이들에 대한 고민해결은 다음 과제로 넘겨야할 것 같다.

<산수의 기초>에서 다루는 내용은 이처럼 이미 우리가 약속하고 사용하고 있는 개념들에 대한 설명이다. 때문에, 독자는 ‘왜 이러한 사항을 다루는가?’라는 질문을 던지고, 흥미를 잃을 수도 있다는 생각을 하게 된다. 그렇지만, 우리가 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 <원론>에서 저자가 5가지의 정의와 공리를 통해 거대한 기하학의 이론을 증명하고 있다는 사실을 생각한다면, 이 책에서 다루고 있는 작은 정의가 거대한 논리철학의 구조를 이루는 뼈대가 됨을 깨달을 수 있을 것이다. 그런 관점에서 바라본다면, 논리철학에 관심있는 분들은 끝까지 정독(精讀)할 가치가 있는 책이라 생각된다. 

연의와 함께 한글 레이스!

연의 한글 공부 교재로 구입한 책이지만, 교재보다 부록인 한글보드북을 보고 구매를 결정했습니다. 한글 교재는 이미 여러 권 있어 내용을 비교해보지만, 내용은 제 눈에는 비슷하게 보입니다. 아마도 내용 평가는 연의 본인에게 맡기는 것이 더 정확할 것 같습니다. 여기서는 보드북으로 연의와 즐겁게 한글공부를 한 이야기를 몇 자 적어봅니다.

부록으로 제공된 보드북은 수성펜을 이용해서 썼다지웠다를 반복할 수 있게끔 되어있습니다. 연의만 그런지는 모르겠지만, 책상 앞에만 앉으면 ‘온몸비틀기‘를 하는 것을 보면 꼭 공부를 싫어하는 녀석의 아빠를 보는 것 같습니다. 책상 앞 연의를 보며 유전자의 힘이 참 무섭다는 것을 느끼게 됩니다.

그.래.서. 연의와 쓰기 수업을 같이 하고 있습니다. 요즘 연의가 ‘다 져도 아빠한테만 이기면 괜찮아‘하는 아빠경쟁심리가 있어서요. 아빠와 레이스는 무조건 하려하는 녀석의 심리를 거꾸로 이용했지요. ㅋㅋ 아빠와 같이 글을 쓰고 엄마를 심판으로해서 이긴 사람에게 상품 ‘킨더조이‘를 주는 레이스를 3일째 했습니다. 덕분에 3일 연속으로 연의는 킨더조이를 포식했네요. 글쓰기를 즐거워하니 좋긴한데, 초콜렛을 많이 먹게 되어 걱정이 됩니다. 상품은 바꿔야겠습니다.

저도 3일 동안 한글쓰기를 하면서 많이 배웠습니다. 흰 A4지에 쓴 글씨가 제 글씨입니다. 글씨가 엉망이지요?^^: 왼손으로 썼습니다. 어려서부터 왼손으로도 글씨를 쓰고 싶었는데, 이제야 연습하게 되네요. 연의글씨가 느는만큼 제 글씨도 예뻐져야할텐데 갈 길이 멀어보입니다.ㅋㅋ

보드북을 통해 아이와 부모가 함께 성장할 수 있는 다른 하나의 기회를 발견하게 됩니다. 가족과 함께한다면 공부도 놀이처럼 할 수 있지 않을까요?^^: 제 수준이 어디까지 할 수 있을지는 모르겠지만, 이러다 나중에 연의따라 피아노도 다시 시작할 수 있지않을까. 은근 기대도 해봅니다^^:

푸른 가을날입니다. 이웃분들 모두 즐거운 토요일 되세요^^:

ps. 공부를 싫어하는 유전자는 ‘우성유전자‘입니다. 이는 저의 집안 임상실험으로 입증될 수 있을 것 같네요.

나의 가치는 무엇일까?

우리는 항상 어떤 성과를 쌓아야만 우리의 가치가 높아진다고 생각하는데, 이는 잘못된 생각이다. 이 사실은 특히 성과를 더 낼 수 없을 때 분명해진다.

우리는 누구에게 혹은 무엇에게 이익이 될 때만 가치가 있는 존재가 아니다... 혹 몸이 아파도 병을 받아들이면 의미가 있다. 그러면 우리에게서 가치가 생겨난다. 우리는 병으로 제한된 삶을 통해서 다른 가치, 사랑의 무한한 가치를 증명한다...

몸(또는 마음)이 아픈 사람은 그 약함으로 누구보다 훌륭한 인생의 안내자가 될 수 있다.(p62)

형식과 장르 : 교회 칸타타, 대칭성과 이(理)

'아우구스티누스 이래 기독교 역사에서 끊임없이 등장한 저 위대한 지도자들 가운데에서도 가장 적극적이고 열정적인 지도자들에게는 종교적 구원의 감정이라는 현상이, 모든 것은 오직 한 객관적 힘의 전유적(專有的)인 작용으로 돌릴 수 있는 것이지 절대 그 자신의 가치로 돌릴 수 있는 것이 아니라는 확고한 의식과 결부되어 있었다. 죄의식에 의해 초래되는 무시무시한 정신적 긴장감으로부터 해방시켜주는 희열에 찬 확신과 그것이 주는 강렬한 감정이 돌연히 그들의 마음에 밀려와, 이 엄청난 은총의 선물은 그 자신이 어떠한 방식으로든 협력한 덕택이라든가 자신의 신앙과 의지의 공로나 특성과 결부될 수 있다는 표상의 모든 가능성을 근절해버린 듯하다'(p178)... 신이 인간을 위해서 있는 것이 아니라 인간이 신을 위해 있는 것이며, 이 세상에서 일어나는 모든 것은 오직 신의 위엄의 찬미라는 목적을 위한 수단으로서만 의미를 가질 수 있다.(p181)'

널리 알려진 바와 같이, 막스 베버(Maximilian Carl Emil Weber, 1864 ~ 1920)은 프로테스탄티즘의 금욕(禁欲)주의 정신을 자본주의 정신의 기원으로 인식했다. 거칠게 표현해서 프로테스탄티즘의 결과로 자본의 축적이 가능했다면, 당대의 사람들이 금욕으로 인해 억압된 욕구 배출구는 무엇이었을까? 기독교에서 사순기간 직전의 사육제(謝肉祭, carnival)이 욕구를 분출할 수 있는 공식적인 경로였다면, 음악에서는 교회 칸타타로 설명될 수 있을 것이다.

1. 교회 칸타타

'모든 예술에는 서로 대립되면서 밀물과 썰물처럼 오고가는 두 개의 주요한 경향이 있습니다. 첫번째 경향은 대칭에 대한 욕구입니다. 재료를 깎아내고 수정하고, 윤곽을 단순화하고, 명백한 질서를 부여하고 싶어하는 경향 말이에요... 이 경향이 과열된 탓에 또다른 경향이 나옵니다. 생기 없고 단조로운 규칙성에 권태를 느끼고 기하학을 박차고 나온 거죠. 이제 예술은 자연물의 유려함, 식물의 풍부함과 무성함을 모방하려 합니다. 바로크(baroque)적인 기발함을 좃게 된 거에요.(p288)'

'바흐(Johann Sebastian Bach, 1685 ~ 1750)가 재능을 꽃피운 프로테스탄트 사회는 이미지를 배척했죠. 이탈리아의 신앙이 자기만족을 얻곤 했던 극적이고 시각적인 화려함이나 이교도 신앙에서 차용한 요소들을 모두 거부했어요. 독일 종교개혁이 그 모든 이미지의 세계를 억압하고 금지했기 때문에 인간에게는 어떤 배출구가 절박하게 필요해졌습니다... 어떤 형상을 만들고 싶은 흥취가 사방으로 갇혀버린 판국에 음악만이 유일한 피난처이자 분출구가 되었던 겁니다. 음악과 시, 연극, 회화의 결탁은 낭만주의에서 활발하게 이루어집니다. 하지만 그 싹은 이미 바흐의 훌륭한 칸타타들에 이미 마련되어 있었습니다.(p290)'

 '나는 가장 아름다운 작품 중 하나라는 이유에서 바흐의 칸타타 제150번을 골라보았습니다. "주여, 제가 당신께 간구하나이다."라고 성경은 말하고 있는데요. 이 독주들과 합주들을 들어봐요. 특히 경이로운 피날레의 샤콘에서 바흐는 북스테후데의 기악 작곡법을 성악에서 응용하죠. 이탈리아 아리아의 구조들과 슬슬 비슷해지기 시작하는 선율들도 주의깊게 들어봅시다(p292).'

2. 대칭성(Symmetry)과 이(理)

'애드거 앨런 포(Edgar Allan Poe, 1809 ~ 1849)가 그랬죠. "탁월한 아름다움에는 항상 묘하게 조화되지 않는 부분이 있다." 조화에서 벗어나는 기묘함, 그게 바로 바로크의 기원입니다.(p287)'

 <음악의 기쁨>에서 언급된 조화의 아름다움 중 하나인 대칭성은 다음과 같이 '합동성'과 '주기성' 그리고 이들의 배열로 정리될 수 있을 것이다. 그리고, 음악에서 대칭성의 표현은 주제음과 이들의 '반복'된 형태로 대칭성의 아름다움을 표현하는 형태로 구현된다.

 '대칭성을 보인 수많은 다양한 대상들이 가진 공통적인 요소가 무엇인지 이해하려면 먼저 합동성과 주기성의 개념부터 이해해야한다. 대부분의 대칭적 대상은 어떤 형태로든 이런 성질이 있으며 이런 성질이 빠지면 대칭성이 축소되거나 사라진다... 가장 단순한 형태의 대칭성은 직선을 따라 규칙적으로 형태를 반복해 배치하거나, 어레이(array) 형태로 무늬를 연장하는 것이다. 이론상 이러한 종류의 단순한 배열은 분명 무한히 계속할 수 있다. 하지만 반복되는 요소와 간격이 일정하게 유지될 때만 대칭성을 가지게 된다.(p8)'

그렇지만, 현실적으로 자연(自然) 상태에서 이러한 대칭성이 완벽하게 구현되기는 어렵다. 이상(理想)적인 대칭성은 제한적으로 적용되는 것이 우리의 현실이 아닐까. 그렇기 때문에 현실적으로는 보다 복잡한 모습의 다양한 모습으로 아름다움은 발생한다. 음악에서는 다양한 형태의 변주곡(變奏曲, Variation)은 '대칭적 아름다움의 현실적인 표현'이라는 생각을 하게 된다. 

'용암이 이상적으로 완벽하게 균일한 물질이었다면 그물망이 아니라 정육각형 패턴이 되었을 것이다. 그러나 기하학적 이상 상태는 여기서도 그렇고 자연의 어느 곳에서도 실현되기 아주 힘들다... 사실 이러한 복잡한 모습이야말로 '이(理)'의 징표다. 완벽하게 질서 정연한 배열은 순수 대칭의 영역에 속한다.(p40)' 

3. 깊이 읽기 : 칸타타(Cantata)

'17세기 초엽에서 18세기 중엽까지의 바로크 시대에 가장 성행했던 성악곡의 형식. 이탈리어어의 cantare(노래하다)에서 파샌된 말이다. 보통 독창(아리아와 레치타티보)-중창-합창으로 이루어져 있으나, 독창만의 칸타타도 있고 또 처음의 기악의 서곡이 붙어 있는 것도 적지않다... 처음에는 이탈리아의 영향을 받아 아리아와 레치타티보가 교체되는 독창 칸타타를 길러낸 독일은 18세기에 들어 그리스도교의 교회음악으로서 독일 특유의 칸타타를 발전시켰다. 그것들은 17세기 이래의 교회합창곡과 오페라풍의 아리아, 레치타티보를 융합한 것으로 가사로는 자유로운 종교시에 성서의 구절이나 찬송가(코럴 coral)을 곁들인 것들이 많다... 독일 교회 칸타타의 절정을 이룬 것은 약 200곡에 이르는 바흐의 작품들이다. 형식과 내용의 다양성에 있어서 그것들은 바흐음악의 정수라고 부를 만하다. 바흐 칸타타의 가장 전형적인 형식은 처음에 기악의 서주를 지닌 규모가 큰 대위법적인 합창곡을 두고 거기에 몇 개의 아리아- 레치타티보-중창이 이어지며 단순한 코럴합창단이 전곡(全曲)을 맺는 형식을 취하고 있다. 칸타타의 전성기는 바흐와 더불어 막을 내렸다 해도 무방하다.'

 '불협화음'으로 대표되는 바로크 음악의 특성은 변주와는 다른 뜻을 가진다는 생각을 하게 됩니다. 중세 스콜라(Schola)철학과 로마네스크(Romanesque)-고딕(Gothic)양식으로 대표되는 신(神)의 절대질서에 대한 소심한 반항이 바로크 음악이 아닐까 생각해 봅니다. 대칭성의 파괴라고는 하지만 불협화음 수준을 넘지 않는 '수학적 절대성'이 적용된 음악이었음을 다시 느끼게 됩니다. 

 오늘 아침 안개가 심하네요. 안개가 심한 것을 보면 오늘은 날이 더울 것 같습니다. 이웃분들 모두 건강한 토요일 보내세요^^:

서양의 음악, 미술, 경제, 물리 속의 수학

 '항우는 어렸을 때 글을 배웠으나 다 마치지 못한 채 포기하고 검술을 배웠다. 이 또한 다 마치지 못했다. 항량이 노하자 항우는 말했다. "글은 이름과 성을 기록하는 것으로 족할 따름입니다. 검 또한 한 사람만을 대적할 뿐이니 깊이 배울만 하지 못합니다. 만인을 대적하는 일을 배우겠습니다." 항량이 병법을 가르치자 항우가 크게 기뻐했다. 그러나 대략 그 뜻만 알고는 또한 끝까지 배우려 하지는 않았다.'<사기본기 史記 本記 >(항우項羽 p317) 

 마지막 문장은 사마천(司馬遷, BC 145 ~ BC93)이 항우의 인물됨을 비판하기 위해 넣은 문장일 가능성이 큰 것이 사실이다. 그렇지만, 다른 한 편으로 항량이 항우가 원하는 것을 가르치지 못한 것은 아닐까하는 생각도 들게 된다.  만약, 항우가 만인(萬人)이라는 모호한 표현 대신 보다 구체적인 수치을 제시해서 뜻을 명확히 했다면 자신이 원하는 것을 배우지 않았을까. 수학(數學)은 구체적인 수치를 제시하여 통해 우리로 하여금 양(量)을 가늠케 한다. 이러한 수학의 위상은 서구 문명에서 더욱 크다.

 '수학은 방법, 예술, 그리고 언어 이상의 것이다. 그것은 자연과학자와 사회과학자, 철학자, 논리학자 그리고 예술가들에게 도움이 되는 내용, 그리고 정치가와 신학자들의 교리에 영향을 주는 내용, 천체를 조사하는 사람들과 음악의 달콤함에 대하여 명상을 하는 사람들의 호기심을 만족시켜주는 내용, 그리고 비록 때로는 잘 지각되지는 않지만 현대 역사의 과정을 형성했음을 부인할 수 없는 내용으로 이루어진 지식의 총체이다.'(p24)

<수학, 문명을 지배하다 Mathematics in Western Culture>는 모리스 클라인(Morris Kline) 교수가 저술한 수학이 서구 문명에 미치는 영향에 관한 책이다. 음악, 미술, 물리, 경제 등 여러 분야와 수학이 어떤 관계를 맺고 있는가를 구체적으로, 그러나 어렵지 않게 서술하고 있다.  수학이 서구 문명에서 다른 분야와 어떤 관련이 있는가를 이번 페이퍼에서 구체적으로 살펴보자.

1. 미술 안의 수학 : 원근법

<수학, 문명을 지배하다>에서는 미술의 원근법에 대해 상세히 설명한다. '주 소멸점'이라고 불리는 한 점을 통해서 그림 감상자는 수직으로 그림과 만나게 되고, 주 소멸점을 중심으로 지평선이 뻗어가면서 구도를 잡게 된다. 또한, '주 소멸점'과 '대각선 소멸점' 사이의 관계 사이에도 원칙이 있는데, '등거리'와 '평행'의 원칙이 적용된다. 이러한 원칙하에서 실제와는 다소 차이가 있지만, 원근법을 통한 그림의 전체 구도가 잡히게 된다. 

[그림] 원근법

 '원근법의 수학적 주요 정리 또는 규칙은 무엇인가? 캔버스가 수직으로 놓여져 있다고 가정해보자. 눈에서 캔버스까지의 수직면은 주소멸점이라고 불리는 한 점에서 캔버스와 만난다. 주 소멸점을 통과하는 수평으로 된 선을 지평선이라 불린다. 그림에서 점P가 주 소멸점이며 선D2-P-D1이 지평선이 된다 ... 첫 번째로 핵심적인 정리는 그림 속에 있는 캔버스의 평면과 수직인 모든 지평선들은 주 소멸점과 만나도록 캔버스 위에 그려야 한다는 것이다. 그래서AA', EE', DD'와 다른 선들이 P에서 만나게 된 것이다...두 번째 정리는 AB'와 EK와 같은 선들은 실지 장면에서는 평행이며 캔버스의 면과는 45도의 각도로 점 D와 만나게 되는데, 이를 대각선 소멸점이라고 부른다. 여기서 거리 PD2는 거리 OP와의 거리, 즉 눈에서 주 소멸점까지의 거리와 같아야 한다... 세번째 정리는 캔버스 평면과 평행하는 장면의 평행 수평선들은 수평이면서 평행하게 그려야 하며 수직 평행선들은 수직이며 평행하게 그려야 한다는 것이다.'(p199)

[사진] 최후의 만찬( 출처 : https://brunch.co.kr/@bookfit/907)

 주 소멸점이 눈에서 캔버스까지의 수직면이라는 정의를 생각해본다면 대표적인 원근법 적용 작품으로 알고 있는 <최후의 만찬>을 우리는 현장에서 제대로 감상하지 못한다는 사실을 알 수있다. 아래에서부터 올려다 보는 관점은 원근법의 수학적 원칙을 위반한 감상관점이 아닌지 생각하게 된다.

2. 음악 안의 수학 : 푸리에 변환

'장 바티스트 조제프 푸리에 남작(jean Baptiste Joseph, Baron de Fourier, 1768 ~ 1830)은 물체를 가열했을 때의 열의 전달 방식을 연구하고 있었다. 그는 열이 퍼져 나가는 상태도 파동으로 나타낼 수 있었다. 푸리에가 관찰한 파동은 매우 복잡했지만 주기를 갖고 있었다. 즉, 같은 형태의 파동이 거듭하여 나타나는 것이었다. 같은 형태를 반복하는 주기를 가진 파동은, 아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동이 결합해 이루어진다.'<수학으로 배우는 파동의 법칙>(p24)

 <수학으로 배우는 파동의 법칙>은 푸리에 법칙에 대해 그림과 함께 설명했기 때문에 푸리에 급수에 대해 보다 이해를 쉽게 한다. 주기를 가진 파동은 단순한 파동의 결합이라는 푸리에 법칙이 음악에는 구체적으로 어떻게 적용될 수 있을까? 

 '순수 수학의 정리라고 말하기에는 푸리에의 공헌이 너무나 단순한 것처럼 보인다. 그 정리에 따르면, 주기적인 음을 나타내는 공식은 a sin bx 형식에서 단순한 sin 항들의 총합이다. 게다가 a sin bx의 형태로 나타난 간단한 사인 항들의 빈도는 두 배, 세 배처럼 가장 낮은 것의 정수 곱으로 나타난다.(p413)... 그렇다면 푸리에의 정리는 물리학적으로 어떠한 중요성을 지니고 있는가? 수학적 언어로 보면, 이 정리는 어떤 음향의 공식이든 모두  a sin bx의 형태로 된 항들의 합이라는 것을 보여준다. 이 항들은 각각 적절한 진동과 진폭을 지닌 소리굽쇠의 소리와 마찬가지로 단순 음향을 나타내기 때문에, 이 정리에 따르면 아무리 복잡한 음향이라도 모든 음향은 소리굽쇠가 내는 소리인 단순 음향들의 결합으로 나타낼 수 있다는 것이다.'(p414)

[그림] 악기와 푸리에 변환(출처 : http://fluorf.net/lectures/lectures3_2.htm)

 악기로 연주할 수 있는 음(音)은 옥타브(octave : 주파수가 두 배 차이 나는 두 음 사이의 음정)으로 세분화할 수 있다. 이는 음을 sin과 cos함수로 분석할 수 있으며, 이는 음악을 수학적으로 표현할 수 있다는 것을 의미한다. 이는 음악과 AI(artificial intelligence)이 결합할 경우 '예술적 영감(靈感)'없이도 작곡이 될 수 있다는 것을 의미하기도 한다. 한편, 음사이의 수학적 관계는 피타고라스(Pythagoras, BC 582 ? ~ BC 497 ?)가 최초로 제시하였으며, 바흐(Johann Sebastian Bach, 1685 ~ 1750)에 의해 동일하게 조율된 음계가 제기된 이후 서양의 기본 음계로 자리잡게 되었다.

 '피타고라스의 발견에 따르면, 가장 듣기 좋은 코드, 즉 화음은 그 진동수가 단순 정수들의 비율이 되는 소리들로 구성된다. 예를 들어 장음 3도는 그 진동수의 비가 4대 5인 한 쌍의 음, 즉 음정이 된다. 4도는 그 진동수가 3 대 4인 음정이며, 5도는 2 대 3인 음정이다. 이들 화음이 우리 귀에 즐겁게 들리는 것은 화음의 고저 사이에 이와 같은 산술 관계를 인식하는 것으로 잘 설명된다... 각 음의 진동수가 고정되어 있는 피아노와 같은 악기들로부터 무한한  또는 아주 넓은 범위의 진동수를 창출하는 것이 불가능하기 때문에 동일하게 조율한 음계를 구성함으로써 그러한 어려움을 해결하였다. 바흐와 그의 아들 카를 필립 에마누엘이 이 음계를 주창하였으며, 이후 서구 문명은 이를 영구히 채택하기에 이른다.'(p420)

 동일하게 조율된 음계(평균율 平均律, Equal temperament)는 완전한 협화를 포기하고 모든 음의 간격을 동일하게 만든 음계를 말한다. 이러한 평균율을 사용하여 만든 대표적인 곡이 바흐의 <평균율 클라비어(Well-Tempered Clavier)>다.

 '동일하게 조율된 음계에는 12개의 음이 있다. C에서 한 옥타브 높은 C'까지는 12개의 음정이 있게 된다. 11개의 중간 음들의 진동은 고정되어 있으며 각 음들은 앞선 음과 일정한 비율을 가진다. C에서 C' 사이에 12개의 음정이 있고, 이 두 음의 진동 비율은 2이기 때문에 연속한 음들의 진동 비율은 (1.0594의 12승 = 2) 1.0594이다. 그러므로 반음으로 불리는 동일하게 조율된 음계에서 각 음정은 동일하다. 결과적으로 어떤 음이든 작곡할 때 조로 사용될 수 있다.'(p420)

  20세기에 들어 12음계를 사용한 기법은 아르놀트 쇤베르크(Arnold Schoenberg, 1874 ~ 1951)에 의해 더욱 발전하게 된다. 12음계의 수학적 의미는 다음과 같이 정리될 수 있다.

'음악의 패턴들, 특히 음의 높낮이와 리듬은 수학적으로 잘 설명할 수 있었고, 그중 일부는 대수적 논리로 다룰 수 있었다. 특히 12개의 똑같은 평균율의 음표체계는 자연스럽게 모듈러 연산을 이용하여 모형화되었고, 이는 조합론 명제들과 함께 20세기 음악이론에 사용되었다.(p439)... 아르놀트 쇤베르크(Arnold Schoenberg)의 12음계 작곡 기법은 1920년대 시작되었는데, 12음계 음악에서는 12음계를 똑같은 중요성을 가진다고 가정한다. 특히 장조나 단조에서 으뜸음처럼 특별한 위치를 차지하는 단음이 없다. 12음계 곡의 기본 요소는 음렬(tone row)로 반음계의 12음의 어떤 치환에 의해 주어진 수열이다. 일단 음렬이 선택되면, 네 가지 유형의 변환, 즉 조옮김, 전위, 역행, 역행, 역행전위에 의해 조작될 수 있다. 음악의 조옮김은 수학에서 평행이동에 해당한다.'<The Princeton companion to Mathematics>2(p445)

3. 경제 속의 수학 : 상관관계

 데카르트(Rene Descartes, 1596 ~ 1650)과 페르마(Pierre de Fermat, 1601 ~ 1665)는 현재 우리가 사용하고 있는 사분면과 방정식을 결합시키는 아이디어를 고안한다. 이는 기하학과 대수학이 결합하게 된 계기가 되었는데, 이 아이디어는  '일대일대응 一對一對應'에 기반한 수학적 사고다. 

 '데카르트와 페르마가 행한 아이디어의 핵심은 명백하다. 각 곡선에는 다른 점이 아닌, 그 곡선의 점만을 유일하게 나타내는 하나의 등식이 존재한다. 역으로 x, y와 관련된 각 등식은 x와 y를 점의 좌표로 해석함으로써 곡선으로 나타낼 수 있다. 공식화 하여 말하면, 어떤 곡석은 등신은 다른 점들의 좌표에 의해서가 아니라, 그 곡선상의 모든 점들의 좌표에 의하여 만족되는 대수식과 동일하다. 이제 등식과 곡선의 관련이 바로 새로운 사고의 핵심이다. 대수의 최선과 기하학의 최선을 결합함으로써, 데카르트와 페르마는 기하학적 도형을 연구하는 새롭고, 엄청나게 가치있는 방법을 가지게 된 것이었다.'(p244)

 '일대일대응 一對一對應'의 관계가 유지되는 자연법칙과는 달리 사회과학 속에서는  '일대다대응 一對多對應'의 관계가 성립되어 일반적인 공식을 유도하기 어렵다. 이러한 경우 수학적으로 '상관관계(Correlation Analysis)'를 분석하게 된다. 그리고, 상관관계 분석은 폭넓은 자료의 활용을 가능케하여 사회과학 발전에 이바지한다. 

 '골턴(Francis Galton, 1822 ~ 1911)은 상관관계라는 개념을 도입했다. 두 변수간의 상관관계는 둘 사이의 관계를 측정한 것이다. 이 측정치, 혹은 수치는 -1에서 +1까지의 값을 갖는 특별히 고안된 상관계수를 말한다. 1의 상관이 있으면 이것은 정적인 관계가 있다는 것을 나타낸다. -1의 상관이 있다는 말은 한 변수가 정확히 다른 변수가 변화하는 것과 반대로 변화하는 것을 뜻한다.(p490)... 상관관계라는 개념은 광범위하게 사용될 수 있다. 가령, 미국의 산업 생산 수준을 연구하기 위해서는 복잡한 자료를 수집하는 일이 필요하다. 그러나, 만일 산업 생산과 주식거래소에서 거래되는 주식의 수량 사이에 높은 상관 관계가 있다면, 그 중에서 더 쉽게 얻을 수 있는 자료, 즉 주식의 수량을 이용할 수 있다.'(p491)

4. 물리 속의 수학 : 상대성 이론

 현대 물리학은 수학없이는 성립하지 않는다. 현대 물리학에서 가장 대표적인 아인슈타인(Albert Einstein, 1879 ~ 1955)은  그의 '상대성 이론 (theory of relativity)'을 적절한 함수의 선택을 통해 훌륭하게 증명했음을 이 책을 통해 확인할 수 있다.

 '행성의 위치는 네 개의 좌표를 사용함으로써 구체화된다는 것에 주목해보자. 네 개의 좌표 중 세 개는 공간 속의 위치에 해당하는 것이며, 나머지 하나는 그 위치를 사건이 점유하게 되는 시간을 뜻한다. 연속적인 위치는 4차원 수학적 세계의 곡선상에 놓여 있다. 아인슈타인이 각 행성의 "경로"가 그 결과로 형성된 기하학에서 최단 거리를 나타내는 선이 되도록 공간-시간차에 대한 공식을 선택했다는 데에 그의 위대함이 있는 것이다.'(p607)

 '산맥 속에 있는 산들의 형태 차이가 지구 표면상의 최단 거리를 나타내는 선을 다양하게 만들어내듯이, 공간-시간 간격에 대한 공식 속에 적절한 함수를 선택함으로써, 아인슈타인은 물리적 세계의 질량의 존재가 그 질량 주변의 공간-시간과 최단 거리를 나타내는 선의 성격을 결정하도록 자신의 공간-시간을 만들었던 것이다. 지구 표면 근처의 물체들은 이 지역의 공간-시간의 최단 거리를 나타내는 선을 따르는 것뿐이므로, 그 경로를 설명하는 데에 만유인력 같은 것은 전혀 필요 없게 된다.'(p608)

<상대성 이론>에서 각 행성의 경로가 최단 거리를 나타낸다는 선이 되도록 아인슈타인이 설명했으나, 현대 양자 이론에서는 행성의 경로(빛의 경로)가 확률적으로 결정됨을 설명한다. 이와 관련하여 파인만(Richard Phillips Feynman, 1918 ~ 1988)의 <일반인을 위한 파인만의 QED강의>를 참고해도 좋을 것 같다.

 이처럼 <수학, 문명을 지배하다>에는 수학이 서구 문명에 미치는 영향에 대해 쉽지만, 구체적으로 살펴보고 있어 흥미롭게 읽을 수 있는 책이다. 다만, 영문 제목과 다른 제목 번역은 책 내용과는 다소 떨어진 느낌이 들어 아쉽다. 또한, 수학자인 저자의 한계일까. 수학이 발달하지 못한 로마 문명은 창조적인 문명이 아니라 빌려온 문명이라는 저자의 비판은 쉽게 공감하기 힘들다.

 '경영과 관리 및 정복에 모든 힘을 쏟아부었고, 아름다운 아치 밑을 통과하는 군대의 개선 행진으로만 상징되는 것은 아니겠지만, 어쨌든 둔감한 사람의 상징으로 묘사되는 로마인들은 실용적인 정신의 소유자였다. 그러나 이들은 진정으로 창조적이고 독창적인 것을 거의 만들어내지 못했다. 간단히 말해 로마 문화는 빌려온 것들이다. 로마의 통치 시기에 이루어진 대부분의 업적들은 모두 로마의 정치적 지배를 받고 있던 소아시아의 그리스인들이 이룬 것이기 때문이다.'(p28)

  다소 공감하기 어려운 부분도 있지만, <수학, 문명을 지배하다>속에서 우리는 수학이 서구 문명의 근원이었음을 우리는 확인하게 된다. 서구 문명에 대한 수학의 이러한 공헌에도 불구하고, 지나친 추상화를 통한 관념(觀念)화와 동떨어진 이론화는 우리가 경계해야할 부분이라고 여겨진다. 마지막으로, <수학, 문명을 지배하다>를 읽으며 떠오른 우화하나를 옮겨본다. 

'수학의 추상적 정리들과 그것들을 적용하는 것과의 관련에 대하여 또 다른 점을 짚고 넘어가야 한다. 추상적 정리들은 이상적인 경우를 진술하는 것인 반면에, 그것이 적용되는 물질적 상황은 이상과는 거리가 멀다는 것을 염두에 두는 것이 매우 중요하다는 사실이다.'(p84)

'어떤 사람이 황금 알을 낳는 예쁜 암탉 한 마리를 갖고 있었다. 그는 암탉의 몸속에 금덩이가 들어있는 줄 알고 암탉을 죽였다. 그러나 그 암탉은 여느 암탉과 똑같았다. 그는 단번에 부자가 되려다가 가지고 있던 작은 이익마저 잃고 말았다.'<이솝 우화> 황금알을 낳는 암탉 (p313)

 원래 위의 우화는 지금 가지고 있는 것에 만족하라는 의미를 가지고 있지만,  <수학, 문명을 지배하다>를 읽으면서 조금은 다른 관점에서 생각하게 된다. 달걀을 낳는 닭도, 황금을 낳는 닭도 결국 같은 닭이었던 것처럼 음악, 미술등의 예술, 사회과학, 자연과학 등의 서구 문명에서의 여러 분야가 '수학'이라는 하나의 원리로 수렴되는 것은 아닌가하는 다소 엉뚱한 생각을 하며 이번 페이퍼를 마친다.