맥베스의 비극 : 여자에게서 태어나지 않은 자

 머리말 : 이것들은 살아계신 예수님께서 말씀하시고 디디무스 유다 토마가 기록한 비밀 말씀들이다...

15. 예수님께서 말씀하셨다. "너희가 여자에게서 태어나지 않은 사람을 보거든 땅에 엎드려 그에게 절하여라. 바로 그 사람이 너희의 아버지다." (토마 복음)

Jesus said, "When you see one who was not born of woman, prostrate yourself on your faces and worship him. That one is your father."(Gospel of Thomas)

토마(도마) 복음을 읽던 중 한 구절을 읽던 중 들었던 아주 짧은 생각. '여자에게서 태어나지 않은 사람'이 너희 아버지(God)라는 토마 복음의 구절은 세익스피어(Shakespear) 의 비극 맥베스(Macbeth)를 연상시킨다.

Second apparition

"Be bloody, bold, and resolute. Laugh to scorn The power of man, for none of woman born shall harm Macbeth."

Be violent. bold, and firm. Laugh at the power of other men, because nobody born from a woman will ever harm Macbeth.

맥베스가 토마 복음을 읽었는지는 알 수 없지만, '여자에게서 태어나지 않은 사람'이라는 의미는 맥베스에게도 신(神)의 의미로 다가왔을 것이다. 맥베스의 비극이 신(神) 또는 자신의 운명(fate)을 알아보지 못하고, 자신의 욕망을 쫓아 폭주하는 것에서 온 것임을 다시 생각하게 된다.

추(醜)는 반미(反美)로 정의될 수 있을까?

추의 역사 + 미의 역사 세트 - 전2권
움베르토 에코 지음, 오숙은.이현경 옮김 / 열린책들 / 2008년 12월

<미(美)의 역사(Storia Della Bellezza)>와 <추(醜)의 역사(Storia Della Bruttezza)>는 움베르토 에코(umberto Eco(1932 ~ 2016)의 서양 예술(특히, 미술)에 나타난 미(美)와 추(醜)에 대한 이야기다. <미(美)의 역사(Storia Della Bellezza)>는 고대 그리스부터 20세기까지 예술 작품 속의 미(美)를 찾아가는 과정 속에서 시대에 따라 달라져온 '미(美)'의 개념을 살펴본다. 미(美)에 대한 사전적 의미는 다음과 같다.

미(美, beauty)

관념론은 미(美)란 정신에 의해 감지되는 것에 의해 성립된다고 본다. 칸트(Immanuel Kant, 1724 ~ 1804)가 미(美)는 이해(利害)를 떠난 순수한 감정에 있다고 본다든지, 헤겔(Georg Wilhelm Friedrich Hegel, 1770 ~1831)처럼 이념의 직관적인 형식하에서의 파악으로 나타난다고 한 것이 그 예다. 유물론에서는 지금까지 미는 객관적으로  갖추어진 것이고, 대상이 갖는 전체와 부분의 균형, 조화에서 나온다고 했다... 미는 이러한 활동을 미술이나 예술 상의 작품 속에서 형상화하여 표현한 것이다. <철학사전>, 중원문화(2009)

미(美)라고 하는 개념은 정신에 따라 감지되는 것이며, 시대별로 미(美)가 다른 양상에서 시작된다는 관점은 사전적 의미일 뿐 아니라 이 책 <미의 역사>의 출발점이기도 하다.

'이 책은 아름다움이란 절대 완전하고 변경 불가능한 것이 아니라 역사적인 시기와 장소에 따라 다양한 모습을 가질 수 있다는 원리에서 출발한다. 이것은 물리적인 아름다움(남자, 여자, 풍경의) 뿐만 아니라 하느님, 성인, 사상 등의 아름다움과 관련되어 있는 경우에도 마찬가지다' 움베르트 에코, <미의 역사>, p14

여느 책과 마찬가지로 서문은 책을 이해하는데 중요하다. 특히, <미의 역사>에는 저자가 생각하는 미(美)의 개념과 책의 의도가 잘 요약되어 있기 때문에 서문의 중요성은 더해진다.

'다양한 미의 개념 뒤에는 모든 세기의 모든 사람들에게 적용되는 몇 가지 독특한 규칙이 있을 수 있다. 하지만 이 책에서는 많은 대가를 치르면서까지 그것을 발견해 내려고 시도하지 않을 것이다. 오히려 우리는 그 차이들을 밝혀 보려할 것이다. 그런 차이 밑에 숨어 있는 통일성을 찾아내는 것은 독자들의 몫이 될 것이다.' 움베르트 에코, <미의 역사>, p14

'완벽함에 대한 그리스인들의 이상은 칼로카가티아(kalokagathia)라는 한 단어로 대표된다. 이것은 칼로스(kalos, 일반적으로 "아름다운'으로 옮겨진다)와 아가토스(agathos, 대개 "선한"으로 옮겨지지만 일련의 긍정적인 가치를 모두 포괄한다)를 결합한 단어이다.' 움베르트 에코, <추의 역사>, p23

그리스인들의 '칼로카가티아(kalokagathia)' 라는 말에서 우리는 고대 그리스인들이 생각하는 선(善)과 미(美)의 결합을 확인하게 된다. 그리고, 이러한 '선'과 '미'의 결합은 자연스럽게 '악(惡)'과 '추(醜)'의 결합으로 이어지면서 보다 복잡해진다.  그 결과 <미의 역사>의 후속편인 <추(醜)의 역사(Storia Della Bruttezza)>에서 추(醜)의 의미는 다음과 같이 세 가지로 정리될 수 있을 것 같다. '반미(反美, 아름다움의 반대)', '비미(非美), 아름답지 않은 것 또는 아름다움에 미치지 못한 것)', 독자적으로 받아들여지는 '추(醜)'.

'반미(反美)'라는 개념은 전통적인 관념으로 받아들여지는 절대적인 미(美)의 상대어이며 근대 이전에 주로 받아들여진 '추의 개념'이라 할 것이다. 한편, '비미(非美)'라는 개념은 아우구스티누스로 대표되는 초기 기독교 사상에서 '악(惡)'을 '선의 결핍'으로 정의한 초기 기독교 사상 속에서 나타나는 개념이다. 이러한 '비미(非美)'의 모습은 마치 '천국(天國)에 들어가기 위한 연옥(煉獄)'의 모습으로 잘 설명된다고 여겨진다. '추의 자율성' 부문에 대해서는 저자 움베르트 에코는 <미의 역사>와 마찬가지로 다양한 추(醜)의 제시를 통해 독자들의 판단으로 미루고 있다. 서문에 나타난 대강을 살펴보면, '추(醜)의 자율성(自律性)' 에 대한 단초(緞綃)는  로렌크란츠의 <추의 미학>에서 찾을 수 있다.

'1853년 카를 로젠크란츠(Karl Rosenkrantz)가 쓴 최초이자 가장 완벽한 <추의 미학 Aesthetik des Hasslichen>은 추와 도덕적 악(惡)사이의 유추를 끌어낸다. 악(惡)과 죄(罪)가 선(善)의 반대이고, 선의 지옥(地獄)을 나타내는 것처럼, 추는 '미의 지옥이다. 로렌크란츠는 전통적인 관념으로 돌아가서, 추는 미의 반대이며 미가 그 자체 내부에 지니고 있는 일종의 오류이기 때문에, 미학이론이나 미의 학문은 추의 개념을 함께 다룰 의무를 함께 갖는다고 말한다. 그러나 그는 추상적 정의에서 추의 다양한 구현에 대한 현상학으로 옮아가는 그 순간에, 일종의 "추의 자율성'을 얼핏 우리에게 보여준다. 이 자율성은 추를 더욱 풍부하고 더욱 복잡하게 만들어 그저 다양한 미의 형식에 반대되는 일련의 것 이상이 되게 한다.' 움베르트 에코, <추의 역사>, p16

저자는 서문의 마지막에서 '추(醜)'에 대해 우리가 주목할 것은 "그것이 우리에게 가져오는 반응"이라고 정리한다. '미(美)란 정신에 의해 감지되는 것'이라고 볼 때 이 역시 당연한 것이겠지만, 한편으로는 '추(醜)'의 자율성 역시 우리의 자연스러운 반응에 의존할 수 밖에 없다는 것도 다시 생각하게 된다.

'... 이런 추들은 너무 방대하기 때문에 우리는 더 이상 추를 조화나 비례, 완전무결함으로 이해되는 미의 반대라고 할 수 없다... "아름다운"의 모든 동의어들은 무관심적 평가의 반응으로 여겨질 수 있는 반면, "추한"의 동의어들 거의 모두는 격렬한 거부감이나 공포, 두려움까지는 아닐지라도, 어떤 혐오감의 반응을 포함하고 있다(p16)... 앞으로 온갖 다양성과 복합적 양상을 띤 추, 이 추의 역사를 따라가면서 우리가 주의를 기울여야 할 점은 다양한 그 추의 형상들이 일으키는 여러 가지 반응들, 그리고 우리가 그것들에 반응할 때의 뉘앙스이다.' 움베르트 에코, <추의 역사>, p16

<미의 역사>와 <추의 역사>는 시대를 대표하는 예술품과 이를 이해할 수 있는 당대 문헌 내용이 풍부하게 인용되고 있다. 책에서는 분량의 제한이 있기에 시대별 상세한 서술은 이루어지지 않지만, 미학사(美學史)의 흐름과 미학의 중요 두 개념 미(美)와 추(醜)에 대해 윤곽을 잡을 수 있다는 내용면에서 좋은 미학 입문서라 생각된다. 미와 추 전체를 한 편의 리뷰에서 정리하는 것은 무리가 있기에 마지막으로 고대 그리스에서 생각하는 미(美)의 개념을 '조화'와 '비례'의 개념에서 살펴보면서 본 리뷰를 마친다.

조화(造化, Harmony)

'조화는 미덕이다. 건강과 모든 선(善) 그리고 신성(神性) 역시 마찬가지다. 결과적으로 모든 사물들 역시 조화에 따라 구성된다.' 디오게네스 라에르티우스, <철학가들의 생애> (BC 6세기 ~ BC 5세기)

[그림] 라오콘과 아들들 (출처 : http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=jaeyun4542&logNo=220622925372)

비례(比例, proportionality)

 '모든 사물들은 아름답고 어떤 식으로든 즐거움을 준다. 그런데 비례가 없는 미와 즐거움은 존재하지 않는다..... 모든 사물은 수적인 비례가 맞아야 한다. 따라서 "숫자는 창조주의 머리 속에 들어 있는 중요한 모델"이며 사물들 속에서 지혜로 이끄는 중요한 흔적이다.' 바뇨레조의 보나벤투라, <하느님에게 이르는 정신의 순례> (13세기)

[그림] 비트루비우스의 비례도( 출처 : http://blog.daum.net/orteauc/6916958)

부분들의 비례

'미는 개별적 요소들 속에 있는 것이 아니라 각 부분의 조화로운 비례 속에, 즉 한 손가락과 다른 손가락들과의 비례, 손가락들과 손의 나머지 부분과의 비례, 손의 나머지 부분과 손목과 팔뚝과의 비례, 팔뚝과 전체 팔의 비례, 그리고 마지막으로 폴리클레이토스의 <카논>에 쓰여 있듯이 한 부분과 나머지 다른 모든 부분들과의 비례 속에 있다고 단언한다.' 클라우디우스 칼레누스 < 히포크라테스와 플라톤의 가르침> (2세기)

PS. 개인적으로는 헤라클레이토스가 미(美)'에 대해서 '아름다움'와 '아름다움의 대립자'간의 균형이 조화라고 해석했다는 면에서 '미의 상대성'을 잘 설명했다는 생각이 든다.

'헤라클레이토스는 이와 다른 해답을 제시했다. 그는 우주에 통일성과 다양성, 사랑과 증오, 평화와 전쟁, 정지와 운동처럼 서로 양립할 수 없듯 보이는 실재들인 대립자들인 존재한다면 이 대립자들 간의 조화는 그중 하나가 사라짐으로써 이루어지는 것이 아니라, 바로 그 둘이 계속 긴장 관계를 유지하며 살아가게 하는데서 성취된다고 말한다. 그럴 경우 조화는 대립자들의 부재가 아니라 그들간의 균형이다.' 움베르트 에코,<미의 역사>p72

<대통령 박근혜 탄핵 사건 선고 결정문>

'이에 재판관 전원의 일치된 의견으로 주문을 선고합니다.

주문 피청구인 대통령 박근혜를 파면한다.'(p20)

<대통령 박근혜 탄핵 사건 선고 결정문>은 역사적 사건의 기록이며, 이를 통해 지난 2017년 3월 10일 11시 21분 대한민국 제18대 대통령 박근혜는 파면되었다. 대통령의 파면 선고의 주된 내용은 다음과 같다.

'대통령은 헌법과 법률에 따라 권한을 행사하여야 함은 물론, 공무 수행은 투명하게 공개하여 국민의 평가를 받아야 합니다. 그런데 피청구인은 최서원의 국정개입사실을 철저히 숨겼고, 그에 관한 의혹이 제기될 때마다 이를 부인하며 오히려 오히려 의혹 제기를 비난하였습니다... 또한, 피청구인은 미르와 케이스포츠 설립, 플레이그라운드와 더블르케이 및 케이디코퍼레이션 지원 등과 같은 최서원의 사익 추구에 관여하고 지원하였습니다... 이러한 피청구인의 위헌, 위법행위는 대의민주제 원리와 법치주의 정신을 훼손한 것입니다.... 이 사건 소추사유와 관련한 피청구인의 일련의 언행을 보면, 법 위배행위가 반복되지 않도록 할 헌법수호의지가 드러나지 않습니다... '(p19)

위의 선고문을 살펴보면 헌법재판소는 전직 대통령 박근혜(이하 박근혜)가 헌법 제7조, 제66조, 제69조를 위반한 것으로 판단하고 이를 근거하여 파면을 선고하였음을 알 수 있다. 해당되는 법조문은 아래와 같다.

[헌법 제7조]

①공무원은 국민전체에 대한 봉사자이며, 국민에 대하여 책임을 진다.

[헌법 제66조] 

② 대통령은 국가의 독립·영토의 보전·국가의 계속성과 헌법을 수호할 책무를 진다.

[헌법 제69조] 

대통령은 취임에 즈음하여 다음의 선서를 한다. "나는 헌법을 준수하고 국가를 보위하며 조국의 평화적 통일과 국민의 자유와 복리의 증진 및 민족문화의 창달에 노력하여 대통령으로서의 직책을 성실히 수행할 것을 국민 앞에 엄숙히 선서합니다."

탄핵 인용 선고를 통해 대통령 파면이 이루어졌기 때문에 탄핵이라는 결과에는 차이가 없겠지만, 세월호와 관련한 선고에 대해서는 마음에 걸리는 부분이 있는 것이 사실이다. 세월호 관련 선고 결정문을 구체적으로 살펴보자. 

'또한, 피청구인은 헌법상 대통령으로서의 직책을 성실히 수행할 의무를 부담하고 있습니다. 그런데 성실의 개념은 상대적이고 추상적이어서 성실한 직책수행의무와 같은 추상적 의무 규정의 위반을 이유로 탄핵소추를 하는 것은 어려운 점이 있습니다. 헌법 재판소는 이미, 대통령의 성실한 직책 수행의무는 규범적으로 그 이행이 관철될 수 없으므로 원칙적으로 사법적 판단의 대상이 될 수 없어, 정치적 무능력이나 정책결정상의 잘못 등 직책수행의 성실성 여부는 그 자체로는 소추사유가 될 수 없다고 하였습니다. 세월호 사고는 참혹하기 그지 없으나, 세월호 참사 당일 피청구인이 직책을 성실히 수행하였는지 여부는 탄핵심판절차의 판단대상이 되지 아니한다고 할 것입니다.'(p14)

위의 선고 결정문을 요약하면 '"성실(誠實)"의 개념을 구체적으로 정의하기가 힘들기 때문에 사법적 판단이 될 수 없다. 이러한 이유로 위의 사유는 탄핵심판절차의 판단대상이 되지 않는다'는 선고는 우리에게 실망감을 안겨 준다. 법전문가들은 세월호 조사에 대해서 충분한 근거가 제시되지 않았기 때문에 판단대상이 되지 못한다는 의견을 제시하기도 한다. 그렇지만, 이것만으로는 우리가 생각하는 상식(常識)과 차이가 있다는 생각을 하게 된 것은 나만은 아닐 것이다. 그렇다면 우리의 상식은 전혀 근거없는 감정적인 판단이기만 한 것일까. 나는 그렇게 생각하지 않는다. 분명히 판단근거는 있고, 우리는 이를 우리의 전통안에서 찾을 수 있을 것이다. 

[측은지심(惻隱之心)]

孟子曰：“人皆有不忍人之心。先王有不忍人之心，斯有不忍人之政矣。以不忍人之心，行不忍人之政，治天下可運之掌上。所以謂人皆有不忍人之心者，今人乍見孺子將入於井，皆有怵惕惻隱之心，非所以納交於孺子之父母也。非所以要譽於鄕黨朋友也，非惡其聲而然也。由是觀之，無惻隱之心，非人也；惻隱之心，仁之端也；凡有四端於我者，知皆擴而充之矣，若火之始然，泉之始然。苟能充之，足以保四海；苟不充之，不足以事父母”

'맹자가 말했다. “사람에게나 누구나 차마 타인을 어쩌지 못하는 마음이 있다. 선왕들에게 차마 타인을 어쩌지 못하는 마음이 있었기에, 차마 타인을 어쩌지 못하는 정치가 존재했다. 차마 타인을 어쩌지 못하는 정치를 펼친다면, 천하를 다스리는 일은 손바닥 위에서 물건을 움직이는 것처럼 쉬울 것이다. 사람에게는 누구나 차마 타인을 어쩌지 못하는 마음이 있다고 말하는 까닭은, 사람이 어린아이가 우물에 빠지려는 것을 얼핏 보고는 누구나 깜짝 놀라 측은히 여기는 마음이 생겨나기 때문이다. 이는 어린아이의 부모와 교분을 맺기 위한 것도 아니고, 마을 사람들이나 친구들로부터 좋은 명성을 얻기 위한 것도 아니며, 아이의 우는 소리가 듣기 싫어서 그런 것도 아니다. 이 점을 보건대 측은히 여기는 마음이 없으면 사람이 아니다....  사람에게 이 네 가지 단서(四端)이 있는 것은 사람의 몸에 사지가 있는 것과 같다. 나에게 있는 네 가지 단서를 확충할 줄 안다면, 마치 불이 처음 타오르고 샘이 처음 솟아나오는 것과 같을 것이다. 그것들을 확충할 수 있다면 천하를 보전할 수 있지만, 그것들을 확충하지 않는다면 자신의 부모조차 섬길 수 없을 것이다." <孟子>, 公孫丑上, 황종원 譯,p132 

[성실(誠實)]

誠者, 天之道也;

誠之者, 人之道也.

誠者, 不勉而中, 不思而得, 從容中道也.

誠之者, 擇善而固執之者也.

'성(誠)함은 하늘의 도요, 성(誠)하고자 하는 것은 사람의 도다. 성(誠)한 자는 힘쓰지 않아도 표준에 들어맞고, 생각하지 않아도 얻으며, 자연스럽게 도에 부합되니, 그는 성인(聖人)이다. 성(誠)하고자 하는 자는 선을 가려 그것을 굳게 붙잡는 자이다.'

<中庸> 第20章 황종원 譯 p105

이에 근거하여 거칠게 나마 선고문을 쓴다면 다음과 같이 쓸수 있지 않을까. (물론 여기에 헌법수호의지 부족도 추가해야 할 것이다.)

'대통령 박근혜는 국가의 통수권자로서 세월호 사고가 발생한 당시 사람으로서 당연한 '惻隱之心'에 맞는 행동을 하지 않았다. '惻隱之心'을 확충할 수 없다면 부모도 섬길 수 없을 텐데, 하물며 국가의 수반으로서야. 또한, 국가 수반으로서 선(善)을 가려 그것을 굳게 붙잡으려는 성(誠)을 행하지도 않았는데, 이 역시 자신의 책무를 다하지 않은 것이라 판단된다. 피청구인의 언행으로 인해 결과적으로 국민의 생명과 재산을 보호하지 못했다고 볼 수 있으며 이에 근거하여 대통령 박근혜를 파면한다.'

그렇지만, 아쉽게도 우리의 헌법(憲法)에는 이러한 우리의 정서가 담겨있지 않다. 1948년 제헌 당시 세계 각국의 헌법을 참고하여 가장 좋은 덕목을 모아 만들었다는 우리의 헌법에는 정작 우리의 정서가 제대로 담겨있지 않았고, 나는 이번 <대통령 박근혜 탄핵 사건 선고 결정문>을 통해 그러한 점을 깊이 생각하게 되었다. 

최근 개헌(改憲)문제가 새롭게 논의되고 있다. 비록, 시기에 대해서는 입장 차이가 있지만 헌법개정이라는 대전제에는 국민적 합의에 이른듯 하다. 언제 개헌이 되더라도 제7공화국의 헌법안에는 우리의 상식이 녹아들어있는 상식적인 헌법이 되길 기원해본다.

ps. 

리뷰를 쓰기 위해 헌법을 찾던 도중 다음과 같은 놀라운(?) 사실을 알게 되었다. 

헌법에 근거한 '청렴의 의무'는 국회의원에게만 주어진다는 사실. 적어도 조문상으로 대통령과 대법원장에게는 '청렴의 의무'는 주어지지 않는다. 국회의원만 부패할 수 있다는 이런 조문 내용 또한 일반 상식과 맞지 않는다. 이에 대한 보완도 이번 개헌 때 반영되어야 할 것이다.

[헌법 제46조] 

①국회의원은 청렴의 의무가 있다.

③국회의원은 그 지위를 남용하여 국가·공공단체 또는 기업체와의 계약이나 그 처분에 의하여 재산상의 권리·이익 또는 직위를 취득하거나 타인을 위하여 그 취득을 알선할 수 없다.

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‘세상에 바뀌지 않는 사실은 ˝세상 모든 것은 바뀐다˝는 사실이다.‘

튜링 & 괴델 : 추상적 사유의 위대한 힘 ㅣ 지식인마을 36
박정일 지음 / 김영사 / 2010년 11월

<튜링 & 괴델>은 튜링의 '보편 튜링 기계'와 괴델의 '불완전성 정리'의 개념을 중심으로 현대 수학의 집합론과 컴퓨터에 대해 설명한 수리논리학 입문서다. 

<튜링 & 괴델>에서는 두 수학자의 이론이 다루어진다.

영화 <이미테이션 게임 Imitation game>으로 유명한 튜링(Alan Mathison Turing, 1912 ~ 1954)의 '보편 튜링 기계'를 설명하기 위해 <튜링 & 괴델>에서는  프레게(Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)의 <개념 표기법 Begriffsschrift>(1879)상의 '문장 논리'와 '술어 논리', 칸토어(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 1845 ~ 1918)의 '집합론'의 개념을 연관설명하고 있다. 또한, 괴델(Kurt Godel, 1906 ~ 1978)의 '불완정성 정리'를 설명하기 위해 힐베르트(David Hilbert, 1862 ~ 1943)의 '힐베르트 프로그램'의 개념을 소개한다. 

프레게는 기존 아리스토텔레스(Aristoteles, BC 384 ~ 322)의 삼단논법으로 대표되는 기존 논리학 대신 문장연결사를 활용한 '현대 논리학'을 창시했으며, 현대 논리학과 무한(infinty)의 개념을 잠재무한(potential infinity)과 실제무한(actual infinity)으로 구분한 칸토어의 '무한론'은 튜링기계(Turing machine)의 이론적 토대가 된다. 책에서는 튜링 기계의 작동원리가 후대 컴퓨터 특히 인공지능(AI)과 어떤 방식으로 연결될 수 있는지가 '보편 튜링 기계(universal Turing Machine)'를 통해 설명된다.

'간단히 말하면 보편 튜링 기계란 다른 튜링 기계가 할 수 있는 모든 일을 흉내낼 수 있는 기계를 말한다(p108)... 그렇다면 보편 튜링 기계가 의미하는 바는 무엇인가? 보편 튜링 기계에서는 다른 튜링 기계의 프로그램이 하나의 수치로, 다시 말해 하나의 데이터로 입력되고 처리된다'(p123)

[그림] 알파고 서버(출처 : http://www.insight.co.kr/newsRead.php?ArtNo=54225)

괴델의 불완전성 정리는 '제1불완전성 정리'와 '제2불완전성 정리'로 나눌 수 있다.

'수학의 체계가 무모순이라면, 수학의 체계에서는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것이다(제1불완전성 정리). 나아가 수학의 체계가 무모순이라면, 수학의 체계에서 모순이 도출되지 않는다는 것을 그 체계에서는 증명할 수 없다는 것이다.(제2불완전성 정리)' (p161)

'한 문장에 대해서 그 자신과 그것의 부정이 동시에 증명 불가능한 경우, 그 문장을 결정 불가능한 문장이라고 부르며, 이를 "괴델의 제1불완전성 정리"이다.'(p167).. 괴델은 산수 체계의 무모순성이 그 체계 내부에서 증명될 수 없다는 것을 증명했다.'(p180)

<튜링 & 괴델>에서는 각각의 명령어가 어떤 방식으로 개별 숫자에 대응할 수 있는지를 보여주고, 이러한 수대응(數對應)이 무한히 계속될 수 있음을 통해, 보편 튜링 기계의 작동이 '멈추지 않는다'는 것을 보여주고 있다. 그리고, 이러한 개념은 '기계는 생각할 수 있는가?'의 문제제기로 이어진다. 책에서 제기한 이러한 질문에 대해 2015년 알파고와 이세돌의 바둑 게임 결과로 답을 할 수 있다고 생각된다. '기계학습'을 통해 발전하는 인공지능(AI)의 시대를 살아가는 우리에게 <튜링 & 괴델>은 컴퓨터의 기본개념에 대해 잘 설명해주는 좋은 입문서라 생각된다.

[그림] 바둑의 경우의 수( 출처 : http://www.bloter.net/archives/249668)

이러한 입문서로서의 역할 이외에도 <튜링 & 괴델>은 수리논리학이 결코 <수학 정석>의 집합, 명제 수준이 아님과 수학의 여러 정리를 추가적으로 제시하여 독자의 흥미를 더한다. 그 중 두 가지를  소개해본다.

1. 부랄리-포르티 역설과 안셀무스의 신 존재 증명

<튜링 & 괴델>에서는 칸토어의 역설을 설명하면서 '부랄리-포르티 역설'을 설명하고 있는데, 이는 중세 안셀무스의 신 존재 증명을 연상시킨다. 서양에서 무한(infinity)라는 개념은 신(God)의 존재와 뗄 수 없는 관계라는 생각이 든다.

[부랄리-포르티 역설]

모든 서수들의 집합은 존재하는가? 다시 말해 가장 큰 서수는 존재하는가? 이를 증명하기 위해 가상의 집합 Ω를 가정하자. 이 집합에는 0, 1, 2, 3, ... ω(초한 서수)가 포함될 것이다. 모든 서수들의 집합 Ω의 서수는 Ω의 원소인 어떤 서수보다 크며, 가장 큰 서수가 될 것이다. 그런데 Ω로부터 Ω+1을 구성할 수 있다. 또한 Ω+1은 Ω보다 더 크다. 그러나 이는 가 가장 큰 서수라는 사실과 모순된다.(p142)

[안셀무스의 신 존재 증명] 

1. 신은 그보다 더 큰 것이 상상될 수 없는 존재다.(가장 큰 존재다.)

2. 이런 신의 개념은 인간의 지성 속에 존재한다. (즉, 그런 개념을 인간이 이해할 수 있다.)

3. 신이 실재가 아닌 마음 속에만 존재한다고 가정하자.

4. 그것은 마음 속에 한정된 신보다 더 큰 개념이므로, 그보다 더 큰 것이 상상될 수 없는 존재라는 신의 정의에 모순된다.

5. 따라서 신은 실제로 존재한다. (출처 : 위키피디아)

2. 러셀의 역설(Russell's paradox)

책에서는 자기 지시의 모순의 대표적 예로 러셀의 역설을 소개한다.

[그림] 러셀의 역설( 출처 : 네이버)

S라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, A가 S의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다. 이 경우 "S는 S의 원소이다"라는 명제와 "S는 S의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 그르다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다. (출처 : 위키피디아)

러셀의 역설을 이용해서 한 가지 명제를 만들어 보면서 리뷰를 마치고자 한다.

'세상에 바뀌지 않는 사실은 "세상 모든 것은 바뀐다"는 사실이다.'

PS. '분명하게 말할 수 있는 것은 "모든 것을 분명하게 말할 수는 없다."라는 사실이다' 라는 명제 때문에 비트겐슈타인(Ludwig Josef Johann Wittgenstein, 1889 ~ 1951)것이 '말할 수 없는 것에 대해 침묵해야한다'고 한 것은 아닐테지...