수학의 황제

* 수학의 황제 

옛날에 동굴속에 덧셈의 황제가 있었다.

그는 매일같이 덧셈을 동굴벽에다가 했다.

그는 "나는 덧셈의 황제다"라고 외쳤다.

그러자 갑자기 뽕하는 소리와 함께 어떤 도사가 나타났다. 나타나서는 "10을 10번 더해 보거라"했다.

그러자 덧셈의 황제는"내가 질줄알고?" 그는 동굴벽에다 막 더하기 시작했다.

그러자 그 도사는 10 곱하기 10을 해서 100이라고 말했다.

그러자 덧셈의 황제는"아니 어떻게 그렇게 빨리?"

그 도사는 그에게 구구단을 가르쳐주고 떠났다.

그는 그날부터 매일 곱하기를 했다. 그는 어느 날 곱셈을 완전히 터득했다.

그는 "나는 곱셈의 황제다" 라고 외쳤다.

그러자 갑자기 뿅하는 소리와 함께 그 도사가 나타나더니 10을 10번 곱하기를 풀어 보거라 하고 말했다.

곱셈의 황제는"내가질줄알고?"열심히 동굴벽에다 곱셈을 했다.

그러자 도사는 "10의 10승은100억이니라"하고 말하자.

그는 "아니 어떻게 그렇게 빨리 하고 말햇다.

그러자 도사는 제곱을 가르쳐주고는 떠났다.

얼마후 황제는 제곱을 완전히 익혔다 그리고 '나는 수학의 황제다"라고 외쳤다.

그러자 아니나 다를까 도사가 또 나타났다. 그러자 그는"당신은 왜 내가 나는~의 황제다 라고말할때마다 나타나는 거요"

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수학에는 끝이 없다.....

* 인터넷에서 떠도는 유머

[퍼온글] 초코파이의 초코 함유량

전출처 : 가을산 > [퍼온글] 초코파이의 초코 함유량

고난도의 수학이 필요하군요-_-;;

나의 애인(수학)과 친해지는 법

 * 나의 애인과 친해지는 법

  부제 ; 수학 공부 잘하기

- 다음 문제를 풀어봅시다.

문1) 11+27=?

문2) 배 11개와 배 27개를 합치면 모두 몇 개인가?

두 문제 중 어느 문제가 쉽습니까?

(모두 다 쉽다... 그러면 이야기 진행이 안 되죠. 상상의 나래를 펴서 초등학교 시절로 돌아간 기분으로)

- 1번과 같은 문제를 계산문제(calculation problem)이라 하고 2번과 같은 문제를 서술형 문제(story problem)이라고 합니다.

- 수학문제를 푸는 단계는 4단계가 있는데

첫째, 문제를 이해한다.

둘째, 풀려는 목표와 자료의 관계를 찾고 그것을 눈에 보이게 표시한다.(관계식을 구한다.)

셋째, 관계식을 풀이한다.(계산한다.)

넷째, 문제와 답을 음미한다.

- 문1)은 문2)에서 문1)로 진행하는 첫째 단계를 이미 생략한 문제입니다. 그러나 문1)같은 문제에 두려움을 느끼는 사람도 많은데, 그것은 수학기호를 정확히 이해하지 못했기 때문입니다.

 

 위 공식은 게이지 변환(gauge transformation)에서 나오는 공식입니다. (게이지 변환 : 전기를 띤 하전입자와 전자기장 사이의 상호작용을 다루는 이론에서 사용되는 변환) 삼지창 같은 그리스 문자와 몇 개의 알파벳, 그리고 화살표 등이 있다는 것 외에 무엇을 뜻하지 모릅니다. (저도 모릅니다. 묻지 마십시오.) 단지 장황한 말로 설명할 것을 매우 간결하게 알아보기 쉽게 표현했다는 것은 압니다.

- 초등학교 때 산수문제 중 아이들에게 공포를 주던 문제가 있었는데 그것이 바로 응용문제

문3) 50% 농도의 50ml의 식염수와 25% 농도의 100ml 식염수를 혼합하면 몇 %의 식염수가 되는가?

 이 문제는 농도 식염수 등의 용어를 사용하여 간단한 계산문제에 혼돈을 주고 있는 서술형 문제입니다.

* 수학 시험에서의 수학 재능이란

 위 네 단계를 모두 잘해야 수학 시험을 잘 보는데, 첫째 단계와 둘째 단계를 선천적으로 잘하는 사람이 있습니다. 이런 사람을 수학에 재능이 있다고 이야기합니다. 즉 문1)을 읽고 문2)과 같다고 생각하며, 문2)를 읽고 문1)로 쉽게 전환되는 것을 이릅니다. 하지만 이 과정도 학교 수업을 통해 배우게 됩니다. 세 번째와 네 번째는 훈련이 필요합니다. 물론 네 단계를 모두 쉽게 하는 사람도 있습니다.

- 저의 이야기를 하면 첫 번째와 두 번째는 수학의 본질로 생각하는데, 세 번째와 네 번째는 비본질적인 것으로 생각하여 정신의 집중이 느슨해지면서 실수를 많이 합니다. 예를 들면 ‘다음 방정식의 정수의 해의 곱은?’이라는 문제에서 해를 1, 2, 1/2로 구해 놓고 정수해라는 함정에 주의하지 않아 정답은 2인데, 저는 1로 답을 표시합니다. 틀린 것을 보고 별로 속상해하지도 않았습니다. 왜냐하면 수학 본질의 문제를 해결했으므로. (그래서 점수는 그저 그랬습니다.)

- 애인(수학)과 친해지는 법은 우선 두려움을 버리십시오. 그리고 네 단계 중에서 어느 것에 취약한가를 생각한 후 그것에 집중하십시오. 문1)과 문2) 모두 쉽지 않습니까? (문3)과 함께 풀어보세요.)

수학자들은 왜 수학을 할까?

*  수학자들은 왜 수학을 할까?  - 姜 錫 眞 고등과학원 수학과 교수

얼마 전 어느 국립대학교 수학과 학생 게시판에 다음과 같은 질문이 올라왔다.

“수학자는 수학을 합니다. 수학자들은 왜 수학을 할까요?”

학생들의 다양한 답글이 올라왔다.

“더 좋은 이해를 얻기 위해서” “남이 나보다 수학을 잘하는 게 싫어서” “아름답고, 그것을 통해 자신을 표현하니까” “어려운 거 해야 폼 나니까” “깔끔하잖아요?” “자랑하고 싶어서”…. (그 밖에 “어느 수학 교수님의 생명력이 흘러넘치는 목소리에 반해서” 같은 믿기 어려운 이유도 있었다. )

덕분에 나까지 왜 수학을 하는지를 다시 한번 생각하게 됐다. 내게는 위에 나온 이유들이 전부 해당되는 것 같다. 문제는 그것들을 나 자신이 실현하고 있는 것 같지 않다는 데 있다. 나보다 수학을 잘하는 사람은 수도 없이 많고, 내 목소리에 생명력이 흘러넘치지도 않으며, 폼이 날 만큼 심오한 수학을 하는 것 같지도 않은 것이다.

아니다. 이런 회의와 의문은 이미 대학시절부터 하루에 열두번씩 느껴온 것이고, 나는 나 자신을 설득시키는 대답이 있다. (이건 아무에게나 함부로 가르쳐 줄 수 없다. ) 진짜 문제는 내가 이런 질문을 하고 대답을 하던 학창 시절의 풋풋함을 잊고 있다는 것 아닐까?

몇년 전부터 우리나라에서도 인기를 끌고 있는 ‘맛의 달인’이라는 만화가 있다. 예술가이며 요리의 대가 우미하라와 그의 아들인 지로가 ‘최고의 메뉴’와 ‘완벽한 메뉴’를 앞세워 치열한 요리 대결을 벌이는 내용이다. 지로의 결혼식을 앞두고 우미하라와 지로는 ‘결혼 피로연’을 주제로 감동적인 요리 대결을 벌인다. 우미하라는 최고 중의 최고의 요리로서, 소박한 그러나 정성이 가득 담긴 가정 요리를 내놓는다. 100년 만에 한 번 나올까 말까 한다는 천재 우미하라가 세간의 인정을 받지 못하고 불우하게 지내던 시절에 아내가 만들어 내놓은 음식이다. 밥, 무절임, 정어리, 닭간과 모래주머니, 두부, 된장국….

우미하라는 이렇게 말한다. “가난해도 지혜를 짜내기에 따라 이처럼 최고의 맛을 즐길 수 있다. 그렇다면 가난을 두려워할 필요가 어디에 있겠는가? 일절 타협 없이 가난을 오히려 즐기며 스스로의 길만 추구해 가면 될 일 아닌가?”

내 능력을 잘 모르는 사람들은 내가 뛰어난 수학자인 걸로 착각하고 있지만, 내가 존경하는 위대한 수학자 몇 사람과 나와 함께 공부해 온 내 제자들은 보잘것없는 내 실력을 잘 안다. 그래서 나는 그들에게 인정받지 못하고 존경받지 못할까봐 전전긍긍하고 있다.

갈수록 공부하기가 싫어지고 나태해지는 내 모습을 보며 나는 이미 수학자로서의 생명이 끝난 게 아닌가 두려워지기도 한다.

그러나 돌이켜 보면 수학이 멋있고 아름다워서 이 길을 선택한 이후 언제나 가장 중요했던 것은 “내 자신이 얼마나 수학의 아름다움에 감동할 수 있는가, 나는 얼마나 감동적인 작품을 만들어낼 수 있는가?”였다. 두려워할 것은 아무것도 없다. 처음 수학을 시작할 때의 소박하고 경건한 마음으로 돌아가면 될 것이 아닌가?

다시 한번 다짐해 본다. “권위에 떨고 타인의 비평에 전전긍긍하지 말고 자유분방, 자신의 길을 갈 뿐이다.”

- 일간지에 실린 글

[펌] 웹으로 읽는 논증의 오류

전출처 : 가을산 > [펌] 웹으로 읽는 논증의 오류

오마이뉴스에서 퍼왔습니다.

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웹으로 읽는 논증의 오류

웹 이슈를 통해 <논리학 입문> (어빙 코피) 읽기                             이강룡(readme) 기자  

	▲ 어빙 코피, <논리학 입문>
	ⓒ2004 이론과실천

‘논증도 인간과 같아서 겉만 차려입은 경우가 자주 있다.’ (플라톤)

논리학이란 기준과 증명에 관한 이론이며, 좋은(정확한) 추론과 나쁜(부정확한) 추론을 구분해 주는 방법과 원리를 연구하는 학문이다. (어빙 코피, <논리학 입문>, 이론과실천)

논증이란 하나 이상의 전제와 하나의 결론으로 이루어져 있는데, 여러 개의 명제로 이루어진 문장이라고 해서 모두가 논증인 것은 아니다. 신문이나 잡지, 역사책은 주장들로 가득 차 있지만 그 주장들이 논증인 경우는 별로 없다. 여러 개의 명제들로 되어 있다는 것은 그것이 논증이기 위한 필요조건이기는 하지만 충분조건은 아니다. (같은 책, 31쪽)

난 고등학교 때 ‘필요조건’과 ‘충분조건’을 구별하는 방법으로, 전제와 결론 사이를 화살표가 가로 지르는데, 화살표에 맞는 쪽이 피가 흐르니까 그 쪽이 상대 쪽의 필요조건이라고 배웠다. 그렇게 가르치는 교사가 이제는 없기를….

연역적 방법과 귀납적 방법

논증은 어떤 결론을 ‘도출’ 하는 과정에 주목하는데 전통적으로 크게 두 가지 종류의 도출 방법이 있다. 연역법과 귀납법이다. 연역논증의 경우 ‘옳은 논증’ 과 ‘옳지 않은 논증’ 이란 말 대신 ‘타당한 논증’과 ‘부당한 논증’ 이란 용어를 사용한다. 귀납논증은, 그 전제들이 ‘결론은 진리’ 라는 것을 보여주는 결정적인 근거라는 주장을 담고 있는 게 아니라 전제들이 ‘결론이 진리라는 상당한 근거가 된다’ 는 주장만을 담고 있다. (같은 책, 40쪽)

쉽게 말하자면, 연역법이란 일반적인 사실에서 특수한 경우를 도출하는 방법이고, 귀납법은 특수한 몇 개의 사례를 통해 어떤 사실을 일반화하는 방법이다. ‘아마도’ 란 수식이 붙는다면 그것은 귀납적인 방법인 셈이다. 연역은 타당하거나 부당하지만, 귀납은 타당할 수도 부당할 수도 있다.

오류의 사례

연역적인 방법이든 귀납적인 방법이든 어떤 논증에는 늘 오류의 위험성이 내포돼 있다. 오류란 일종의 옳지 못한 추론이라고 할 수 있는데, 사회자가 따로 없는 온라인 토론의 경우, 수많은 오류들을 네티즌 스스로 걸러내며 읽어야 하는 부담이 매우 크고, 포털 사이트의 뉴스 섹션에 노출되는 각종 기사들에도 오류가 많이 발견되기 때문에, 오류에 대한 관심과 이해는 아무리 강조해도 지나침이 없을 듯 하다. 어쩌면 이 글 안에도 적지 않은 오류가 담겨 있을지 모른다. 우리가 흔히 겪는 오류들을 살펴보자.

1. 인신공격

주장하는 내용을 반박하지 않고 그 주장을 펴는 사람을 공격할 때 범하는 오류다. 인신공격으로 얼룩지는 댓글 게시판을 보면 잘 알 수 있으리라.

2. 무지로부터의 논증

귀신이 없다는 것을 증명한 사람이 아무도 없으므로 귀신이 있음에 틀림없다고 논증하는 경우다. 스포츠 신문 연예인 스캔들 기사나, ‘~카더라’ 식의 언론보도는 이를 악용하는 경우라고 할 수 있다.

3. 연민에 호소

달변의 변호사와 미모의 여배우가 등장하는 법정 드라마에서 너무 자주 봤다. 영화 <시카고>에도 이런 장면이 나온다. 연민은 이성을 흐릿하게 만든다. ‘강도 얼짱’ 에 대한 관심은 얼짱 신드롬이 빚어낸 우리의 슬픈 자화상인데, ‘저렇게 예쁜 여자가 강도일리 없다’ 혹은 ‘자수시켜 마누라 삼고 싶다’ 고 말했던 네티즌에게 이 오류를 바친다.

4. 군중에 호소

군중집회에서 군중을 감정적으로 선동하는 것이 대표적인 사례다. 어떤 방식으로든 선동한다는 점에서 ‘연민의 오류’와 꽤 비슷하다. 다수결의 맹점도 빼놓을 수 없다.

5. 권위에 호소

네티즌의 관심사에 대해 자세히 조사하거나 연구하지 않은 소위 ‘전문가 칼럼’ 에 짜증났던 네티즌이라면 이런 종류의 오류를 잘 알 것이다.

6. 성급한 일반화의 오류

대표성을 충분히 띠지 못하는 사실에서 성급하게 결론을 내려버리는 경우다. ‘K국이 방식’ 이라는 사이트로 인해 촉발된 한일 네티즌간의 감정 싸움을 떠올리게 한다. 한국 문화를 비하한 것은 일본 네티즌 다수가 아니라 일부일 뿐이며, 이에 대응하여 일본 서버를 공격한 것도 소수의 한국 네티즌일 뿐이었다. ‘갑신왜란’ 이니 ‘사이버 한일전쟁’ 이니 하며 선정적이고 위험한 제목의 기사들을 쏟아낸 언론매체의 오류.

7. 복합질문

수사관 : 당신의 그 과대광고 결과 판매량은 많이 늘었습니까?
증인 : 아니오.
수사관 : 아하! 당신은 과대광고를 했다는 걸 인정하고 있군요. ( 같은 책, 127쪽 )

‘너 이제 경마장 안가지?’
‘훔친돈으로 자동차 샀니?’

같은 질문들은 그냥 ‘예’ 나 ‘아니오’ 라고 간단히 대답할 수 있는 단순한 질문이 아니다. 컴퓨터에서 어떤 프로그램을 사용하다가 종료할 때, 대화상자는 ‘예’, ‘아니오’ 외에 우리가 선택할 수 있는 또 다른 경우의 수 ‘취소’를 묻는다. ‘취소’ 가 없다면 모든 프로그램은 오류에 빠져버릴 것이다. 대통령의 거부권도 사실 얼마나 불합리한가. 선별적인 거부는 없고 하나로 뭉뜽그린 ‘예’, ‘아니오’ 만 있으니 말이다.

8. 논점 일탈의 오류

‘펌’ 과 ‘펌’을 거치고, ‘댓글’의 ‘댓글’ 이 달리면서 논점은 흐려지고 논지에서 벗어난 소모적인 논쟁이 벌어지기 일쑤다. 가장 쉽게 발견할 수 있지만, 가장 쉽게 빠지는 오류다.

9. 결합의 오류

어떤 기계의 부품들이 모두 가벼운 것들이므로 그 기계 전체도 가벼울 것이라고 추론하는 경우이다. ‘성급한 일반화의 오류’ 와 비슷한데 다른 점이라면 첫 단추부터 잘못 뀄다는 점이다.

10. 분해의 오류

결합의 오류와 반대 경우다.

개는 흔히 볼 수 있다.
일본산 스파니엘은 개이다.
그러므로 일본산 스파니엘은 흔히 볼 수 있다. ( 같은 책, 144쪽 )

삼단 논법의 논증을 유심히 살펴보면, 흔히 첫 번째 가정(전제)에서 오류가 발견되는 경우가 많다.

11. 강조의 오류

‘우리는 우리의 친구들에 대해서 나쁘게 말해서는 안 된다.’

위의 문장에서 각 단어들을 강조해 보여줄 경우 의미가 서로 달라짐을 알 수 있다. 의도적으로 혹은 악의적으로 앞 뒤에 비슷한 내용을 배치하여 독자나 시청자의 혼란을 일으키는 방송 프로그램, 신문, 잡지 등에서 빈번하게 발견할 수 있다. 아마도 ‘편집’ 의 절차를 거치는 모든 온오프라인 매체가 안고 있을 오류일 것이다.

‘효리, 완전 자연산’
(...)
‘광어 좋아해.’

라는 <딴지일보> 의 한 구절은 강조의 오류를 익살로 활용한 경우다.

정확한 해답이나 대안을 제시하고 찾는 것은 어렵다. 하지만 이런 것을 도출하기 위한 노력으로 다양한 주장이나 논증에서 오류를 짚어내는 것은 그것만큼 어렵지는 않다. 전제가 참이라고 해도 거짓 결론이 도출될 수 있고, 전제가 거짓이라도 결론은 참이 될 수 있다. 내 시각과 의견을 바로잡아줄 사람 없이 홀로 참여해야 하는 웹의 특성상 웹에서는 확실히 오프라인보다는 오류에 빠질 여지가 많을 것이다. 오류를 피하는 데 정답이란 없다. 좀 아프겠지만 모니터 앞에선 눈을 좀 더 크게 뜨고 보는 수밖에.

이미 알고 있는 네티즌이 더 많겠지만, 아인슈타인이 냈다고 ‘전해지는’ 퀴즈를 인용하며 글을 맺는다. 논리학 입문서에도 종종 등장하는 문제이다.

1. 5채의 각각 다른 색깔의 집이 있다.
2. 각 집에는 각각 다른 국적의 사람이 산다.
3. 집주인들은 각각 다른 종류의 음료수를 마시고, 다른 종류의 담배를 피우며, 다른 종류(한종류)의 애완동물을 기른다.
4. 영국인은 빨간색 집에 산다.
5. 스웨덴인은 개를 기른다.
6. 덴마크인은 홍차를 마신다.
7. 녹색집은 흰색집 왼쪽에 위치한다.
8. 녹색집 사람은 커피를 마신다.
9. 풀몰 담배를 피우는 사람은 새를 기른다.
10. 노란색집 사람은 던힐 담배를 피운다.
11. 한가운데 사는 사람은 우유를 마신다.
12. 노르웨이인은 첫 번째 집에 산다.
13. 블랜드 담배를 피우는 사람은 고양이를 기르는 사람 옆집에 산다.
14. 말을 기르는 사람은 던힐 담배를 피우는 사람 옆집에 산다.
15. 블루매스터 담배를 피우는 사람은 맥주를 마신다.
16. 독일인은 프린스담배를 피운다.
17. 노르웨이인은 파란색 집 옆집에 산다.
18. 블랜드 담배를 피우는 사람은 물을 마시는 사람 옆집에 산다.
문제: 금붕어를 기르는 사람은 어느 나라 사람인가?


* 참조 도서 :

어빙 코피, <논리학 입문>, 이론과실천
김영필, <논리와 사고>, 울산대출판부
안재오, <논리의 탄생>, 철학과현실사