수학 그리고 02

* 수학 그리고 02

- 음악, 시에 앞서 자녀들의 수학공부

내 서재에 들러 주시는 분들 중 학생 자녀를 둔 분들이 계시니, 아이들의 수학공부에 관한 내 의견을 보탠다. (저는 고등학교 졸업 이후 수학과 무관한 그러니까 수학 선생님이나 학원 수학 강사 아닌, 잘 하지는 못하지만 수학을 좋아만 하는 사람입니다.)

나의 핵심적인 주장은 ‘수학 그리고 01’에서 언급한 아랫글이다.

수학 시험공부에 대한 핵심적인 모순이 드러난다. 수학은 이해과목이라고 강조되지지만, 수학 시험성적은 암기로써 성적을 올릴 수 있다. 성적을 단기간에 올리기 위해 이런 공부 패턴이 굳어져 버리면 수학은 수많은 문제 패턴을 암기해야 하는 과목이 된다.

교육 전문가가 방송에서 말하기를 선행학습과 예습의 차이를 다음과 같이 이야기했다. 예습은 학생이 이전 지식, 즉 토대가 되는 것을 완전히 습득하고 진도를 나가는 것이고 선행학습은 토대가 불확실한 상태에서 진도를 나가는 것이다. 수학공부의 결론은 간단하다. 쉬운 것부터 확실하게 이해하고 숙달하여 토대를 다진 후에 진도를 나가는 것이다.

문제는 부모가 아이에 대해 정확히 파악하지 못하는 것에서 시작한다. 아이가 수학문제를 풀 때, 패턴의 암기를 통한 문제풀이인지 아니면 추론과 이해를 동반한 문제 풀이인지 파악이 안 되는 것이다. 학원의 강사의 경우는 어떨까. 내가 여러 가지 매체에 기고된 글을 볼 때, 학원 강사는 학생들을 비교적 정확히 파악하는 것 같다. 하지만 암기를 통한 문제 풀이에서 추론과 이해를 동반한 문제 풀이로 전환하는 과정에서 학교 성적하락이라는 기회 비용을 지불하게 되는데, 굳이 학원이나 학원 강사는 그 부담을 감당할 이유가 없어 보인다. 어느 강사는 스스로 이렇게 말한다. ‘나는 좋은 선생이 되고 싶기도 하지만, 사실 좋은 강사일 뿐이다’라고.

학생들의 수학공부가 3가지 유형으로 정리된다. 1) 아이가 똑똑하여 토대를 확실하게 다지면서 앞선 공부, 즉 예습을 하는 경우. 2) 아이가 보통의 경우로 앞선 공부는 못하지만, 그 나이에 배워야 할 것을 배우고 있는 것을 다지는 경우. 3) 아이가 현재 배워야 할 것을 다지지 못한 상태에서 앞선 공부 즉 선행학습을 하는 경우. 3) 번의 경우라면 부모로서 두 가지 선택이 가능하다. 3-1) 계속해서 사교육의 선행학습을 통해 수학 공부를 패턴의 암기로 유지하는 것. 3-2) 수학공부를 패턴 암기에서 암기, 추론, 이해, 숙달 등의 조합으로 체제 변경을 하는 경우. 순전히 개인적 경험이지만 고등학생의 경우는 3-2)의 전환이 안 되는 것 같다. 중학생은 가능은 한데, 어렵다. 인생을 공부하는 분야에서 승부를 하겠다는 생각이 있으면 마지막 기회가 된다. 그러나 직업으로써 공무원, 대기업 사원 정도를 생각한다면 지금 하는 대로 하는 것도 괜찮은 전략이라고 생각한다. 전 국민이 수학을 이해해야 할 당위성도 크지 않아 보이고 그렇게 된다고 해도 당장은 그런 국민을 수용하는 사회도 아니다. 물론 사회가 바뀌겠지만. 초등학생은 3-2)의 시도를 권장한다.

이 이야기가 구구단에서 시작했는데, 구구단이 이해의 대상인가? 나는 아니라고 생각한다. 직관의 대상이다. 그러고 나서 암기의 대상이다. 정의, 정리, 공식 등도 암기에 대상이다. 그러나 정의가 된 배경, 이유 그리고 정리 및 공식이 유도된 과정을 알면 암기가 저절로 된다. 다른 사람을 이 상황을 이해라고 이야기하겠지만, 나는 이것을 이해라기보다 스토리텔링으로 부르고 싶다. 프로 바둑기사는 300수가 넘는 바둑판을 암기하는데, 무작위로 돌을 위치시킨 바둑판은 암기하지 못한다.

말은 쉬운데, 행동은 어렵다. 이전 직장의 동료였던 어느 여자 분과 이야기를 나눴다. 나는 내 딸아이에게 초등학교 기간 동안 사교육을 시키지 않겠다고 했다. 그 여자 분이 빙그레 웃으면서 내가 아이를 가르치는 일이 있지 않느냐고 물었다. 당연히 나는 아이가 물어오면 그것에 대해 가르친다고 대답했다. 그 여자 분은 나는 가르치는 것이 안 된다고 했고, 그래서 사교육을 시키는 것이라고 했다. 그리고 사실 많은 부모가 초등학생 자녀를 가르치는 것이 안 되기 때문에 사교육을 시키는 것이라고 했다.

어느 알라디너가 내게 ‘나는 아이의 수학 풀이가 암기에 의한 것인지, (광의의) 이해에 의한 것인지도 모르겠고, 이해 중에서도 추론에 의한 것인지 (협의의) 이해에 의한 것인지도 모르겠다. 학원을 보냈더니, 문제 풀이 패턴의 암기를 가르치더라. 이런 상황에서 어떻게 하란 말인가?’라고 물으면 나 역시 답이 없다. (만약 여러분 중, 이와 같은 경우이면서 자녀가 초등학생이라면, 3번이 아닌 2번을 택하는 것을 고려해 볼 것을 권고한다.)

수학 그리고 01

* 수학 그리고 01

- 음악, 시에 앞서 재미

다락방 님과 수학에 관한 몇 가지를 이야기를 하면서 나는 수학이 음악과 그리고 시詩와 공통적 이미지가 있다고 하였다. 다락방 님은 구체적 설명이 가능하냐고 하셨는데, 막상 구체적으로 설명하려 하니 좀 막막하다. 내가 그렇게 생각하게 된 것은 개인적 경험과 어떤 글을 읽었기 때문이고, 그것을 바탕으로 추론하여 내린 결론이다. 물론 그 결론이 확대 해석이라는 오류일 가능성도 있다. 그 근거reference들이 다 기억나지 않는다. (그러나 나는 쓴다.)

누군가는 소설을 매우 좋아한다. 좋아하니 소설책도 많이 읽는다. 그러나 소설책을 읽는 것이 극단적인 예외는 아니지만 평균이라고 말할 수는 없다. 한국인은 책을 잘 읽지 않는다. 책을 읽는 대신 TV를 보거나 영화관에서 영화를 보거나 컴퓨터, 스마트 폰을 사용하는 것에 많은 시간을 보낸다. 아니면 친구들과 잡담을 하면서 친목을 도모하면서 시간을 보내기도 한다. (물론 소설책을 읽는 사람이 전적으로 책을 읽는 데만 시간을 보낸다는 뜻은 아니다.) 조금 더 보편화시키면, (주로 서재활동을 하는) 알라디너는 책을 많이 읽는다. 왜 한국인 평균에서 벗어나는 독서를 많이 할까? 내가 생각하는 답은 ‘재미’다. 소설을 읽는 것이 재미있기 때문에 소설을 읽는다. 독서가 재미있기 때문에 독서를 한다. 이런 논리는 ‘등산’에도 적용된다. 등산을 좋아하지 않는 사람은 왜 시간 들이고, 돈 들이고, 땀을 흘려 가며 다시 내려와야만 하는 산을 기를 쓰고 오르려 하는지 이해할 수 없다.

내가 하려했던 이야기는 수학이다. 이쯤에서 내가 하려는 이야기에 대해 눈치 채셨을 것이다. 나는 수학을 좋아한다. 내 주위에는 수학을 좋아하는 몇 사람을 있다. 나를 포함한 이들은 왜 수학을 좋아할까? 여러 가지 답이 있지만 역시 가장 중요한 이유는 ‘재미’다.

심리학이나 뇌과학에서 잘 알려진 비유로 ‘코끼리와 기수’가 있다. 수학을 좋아하는 사람이라고 해서 다르지 않다.

수학이 재미있다는 것을 언뜻 실감하지 못하신 분이 계실 것이다. 이에 대한 이해로 독서나 등산의 재미없다고 하는 사람을 연상하면 되나 내 경험으로도 독서나 등산이 재미없다고 하는 사람보다는 수학을 재미없다고 하는 사람이 많다. 그러니까 수학을 재미없어하는 사람이 더 보편적이라는 뜻이다.

다른 비유로 ‘고전 음악’을 들 수 있다. 나는 고전 음악과 전혀 친하지 않았는데, 음악가를 접하면서 음악을 듣기 시작했다. 내가 집에서 고전 음악을 듣고 있으면 아이가 ‘지금까지 아빠의 음악을 들었으니, 이제 내 음악을 들을게’라고 이야기하고 동요로 CD를 바꾼다. 아이에게 고전 음악은 재미없냐고 물으면, 재미없다고 답한다.

<아이들은 왜 수학을 어려워할까?>에도 나와 있지만, 인간은 아직 수학에 적합할 정도로 진화되지 않았다.

* 그만하면 용하다 http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/4698213

아이들만 수학을 어려워하나 어른들도 어려워하지. 그 이유는 수학은

p126 (계산을 익히는 과정은 수 감각적) 본능과 거리가 있다.

사람은 특히 한국 사람은 수학공부보다는 무리짓기에 더 적합하게 진화했다.

수학은 직관, 추론, 이해로 구성되어 있고, 수학 시험공부는 암기, 추론, 이해, 숙달로 구성되어 있다(고 생각한다). 수학적 직관을 직접적으로 키우는 방법이 있는지는 모르겠다. 하지만 추론의 연습이나 이해를 증진시키면서 직관도 향상되는 것 같다.

대부분의 수학에 대해 거부감을 갖고 있는 사람과 이야기해 보면 수학 시험에 대한 거부감이다. 잘못된 수학 시험공부를 하면서 잘못된 인식이 심어진 것이다. 수학은 이해의 과목이라고 강조하는 것을 자주 보는데, 암기가 아니면 모두 이해라고 한다. 그러니까 이런 사람이 말하는 이해는 직관, 추론, 이해를 합쳐 놓은 것이다. 추론으로 풀어야 할 문제를 이해로 풀면 문제가 어려워진다.

지금은 고등학생이 된 당시 중학생과의 일화가 떠오른다. 그 중학생에게 수학문제 하나를 풀어보라고 했다. 쉽게 풀었다. 풀이 과정을 설명해 보라고 했다. 아주 훌륭하게 설명했다. 다른 문제를 하나 더 풀어보라고 했다. 그 학생이 문제를 곰곰이 살피더니, 이런 문제는 본 적이 없다고 하며 풀기를 포기한다. 이 학생에게 수학 공부는 수많은 문제 패턴을 경험하고 그것을 암기해서 수학 시험에 적용하는 것이다.

여기서 수학 시험공부에 대한 핵심적인 모순이 드러난다. 수학은 이해과목이라고 강조되지지만, 수학 시험성적은 암기로써 성적을 올릴 수 있다. 성적을 단기간에 올리기 위해 이런 공부 패턴이 굳어져 버리면 수학은 수많은 문제 패턴을 암기해야 하는 과목이 된다. 이제 수학 시험공부의 부정적 감정은 수학에 그대로 투사된다. 사실 중학교 3학년 때 수학 선생님도 같은 말씀을 하셨다. ‘너희들이 수학에 대한 성의가 있다면 (의미는 수학성적을 올리고 싶다면) 암기를 통해서도 가능하다’고.

유주얼 서스펙트 vs 카메라 루시다 : 도대체 카이저 소재는 누구야?

유주얼 서스펙트

* 유주얼 서스펙트 vs 카메라 루시다 : 도대체 카이저 소재는 누구야 ?

 http://blog.aladin.co.kr/749915104/6256843

곰곰이생각하는발님의 ‘유주얼 서스펙트 vs 카메라 루시다 : 도대체 카이저 소재는 누구야?’를 읽고 떠오른 생각 (그러니까 독후감에 대한 독후감) ; ‘앗, P & NP’

* ‘스투디움’은 사건 현장을 구경하는 구경꾼의 눈이고 ‘푼크툼’은 그 모습을 지켜보는 범인의 눈'이다.

 주름 치마가 걷어 올려진 것으로 보아 강간당했을 것이란 추측과 담배꽁초가 중요한 단서가 될 것이라고 판단한다. 그런데 그 구경꾼 틈에 끼여 있는 살인범'은 전혀 다른 것을 본다. 진흙 속에 박힌 포켓몬스터 스티커'다. 그가 사건 현장에 흘린 유일한 것이기 때문이다.

* P & NP (polynomial & nondeterministic polynomial) 클레이 재단Clay Mathematics Institute의 밀레니엄 7대 수학 문제의 하나로 일반인들에게 널리 알려진 수학 증명 문제입니다. (자세한 수학적 의미는 잘 모르는 제가 여기서 설명하느니 책이나 인터넷을 참고하시길 바랍니다.)

쉬운 말로 바꿔보면 ; ‘알고 보면 쉬운 문제가 답을 알기 전에도 (항상) 쉬운 문제인지 증명하라’

예 ; 39,004,583라는 엄청나게 큰 수를 소인수분해 하는 문제가 있습니다. 이 문제는 푸는 데는 무지막지한 시간이 걸릴 것입니다. 일일이 다 곱하고 나눠봐야 하니까요. 즉 어려운 문제입니다. 하지만 답은 5557*7019라는 두 소수의 곱이라는 것을 알고 있다면, 이 답이 맞는지 확인하기는 무척 쉬울 것입니다. 즉 답이 맞는지 쉽게 확인이 가능하면 그 문제를 쉽게 푸는 방법도 존재할까?이죠 (인터넷에서 차용)

* 스투디움, 푼크쿰. 이 두 단어를 처음 보았습니다. (봤더라도 기억을 못하니 처음 본 것과 같다.) 이것을 추리소설에 적용하면 ; 범인을 잡고 나니, 범죄 증거로 쉽게 범인을 확인할 수 있는데, 그렇다면 이러한 범죄는 항상 쉽게 범인을 찾을 수 있는 사건이었느냐?

P와 NP가 같다면 스투디움과 푼크툼의 경계는 사라지는 것이고, 스투디움의 어느 시각은 푼크툼의 눈으로 볼 수 있는 것입니다. P가 NP의 진부분집합일 것이라고 추측하는 내 입장에서는 스투디움과 푼크툼의 시각이 다를 수밖에 없는 사건이 존재할 수 있겠네요.

명탐정 포화로는 독자를 속였다

명탐정 포와로는 독자를 속였다 !

* 명탐정 포와로는 독자를 속였다

 http://blog.aladin.co.kr/749915104/6311271

 곰곰이생각하는발님의 ‘명탐정 포와로는 독자를 속였다’를 읽고 떠오른 생각 (그러니까 독후감에 대한 독후감) ; ‘앗, 페아노 공리계’

* 추리소설

 추리소설은 마치 수학에서 방정식을 푸는 것과 같은 느낌을 줍니다. X가 얼마냐? (답으로 무슨 수인가?) 알 수 없죠. 그러나 X+2=5라는 방정식이 제시된다면 답은 3이란 것을 생각할 수 있습니다. 추리소설은 방정식과 같은 구도로서 ; X는 범인이며 누구인가라는 질문이 던져집니다. 소설이 진행되면서 첩보/정보가 주어집니다. 정보가 축적된 이후 독자는 범인을 추리합니다.

* 부정방정식

 우리 나라에서 산수(수학) 문제는 ‘X+2=5 라는 방정식을 푸시오’라는 형태의 문제와 답은 3이라는 한 개의 답이 제시됩니다. 그러나 북유럽에서는 이런 산수 문제가 출제되기도 한답니다. ‘X+Y=5’를 만족하는 X, Y 정수를 구하시오. 어떤 학생은 2,3을 답으로 어떤 학생은 1과 4, 그리고 어떤 학생은 -1과 6을 답으로 제시합니다. 그리고 각기 다른 학생들의 답은 모두 정답으로 채점합니다.

* 讀書日記 120718

 http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/5739743

* <오리엔트 특급살인>은 나에게 인상 깊은 추리 소설입니다. 왜냐하면 단일 답안을 구하기 위한 방정식 풀이와 같은 추리 소설에서 부정 방정식과 같은 결말을 보았기 때문입니다.

* 讀書日記 120808

 http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/5779863

* (우리 나라만이 아니라 다른 나라도 같을 것으로 생각하는데,) 산수/수학을 배우면서 처음에는 자연수, 그리고 덧셈을 배웁니다. (이후 자연스럽게 곱셈, 그리고 한참 뒤에 미적분을 배우겠죠.) 어느 정도 인지가 발달한 청소년이 되면 기하학의 증명을 배우게 됩니다. 이 증명들 중에는 너무나도 당연한 것으로 생각되어진 것을 증명하라는 요구를 받기도 합니다. 예를 들어 ‘맞꼭지 각이 같음을 증명하여라.’ 학생 갑돌이는 이렇게 이야기할 수 있습니다. “이렇게 당연한 것까지 증명해야 돼? 그렇다면 1 더하기 1이 2가 된다거나 2 더하기 3이 5가 된다는 것도 증명해야 되지 않아?” 저는 갑돌이에게 “당연하지. 그래서 페아노 공리계가 있잖아”라고 대답해 줄 것입니다.

수학계 120년 난제 '248차원 도형' 구조 증명

* 미국과 유렵의 수학자 · 컴퓨터 과학자 18명은 120년간 국제 수학계의 최대 난제 중 하나였던 248차원 도형의 구조를 증명해 냈다고 19일 발표했다. 위(아래) 가상도 는 극도로 단순화한 구조도다. 248차원 도형은 1887년 노르웨이의 · 수학자 소푸스 리(So-phus Lie)가 고안했으며, 그의 이름을 따 통칭 '리 그룹 E8'로 불린다. 이 문제의 해볍은 컴퓨터 압축 저장용량으로는 60기가바이트 크기에 해당된다고 미 수학연구소는 밝혔다.

 이 문제의 해법을 개념화하고  설계하는 데 수퍼 컴퓨터까지 사용해 4년이 걸렸다. 과학자들은 이번 발견이 기하학 · 이론물리학 등 분야의 발전에 획기적 전기기가 될 것으로 기대한다. 그룹 리더인 제프리 애덤스(Adams)메릴랜드대 수학과 교수는 "이 도형이 정확히 무엇인지는 많은 수학자들조차 이해하지 못한다"고 말했다. 미수학연구소 홈페이지(WWW.aimath.org/E8/)에 자세한 내용이 수록돼 있다.

  조선일보 (이태훈 기자) 인터넷 기사 중에서 (저자권에 문제 있을 시 즉시 삭제하겠습니다.)