열등감 부모

열등감 부모 - 상처 없이 부모와 아이의 자존감을 키우는 법
최원호 지음 / 팝콘북스(다산북스) / 2010년 2월

 문제 아이 뒤에는 언제나 문제 부모가 있다. 그리고 문제 부모에게는 언제나 같은 문제가 있다는 것을 알게 되었다. 바로 열등감을 제대로 다루지 못한다는 것이다. 만약 부모가 열등감을 다루지 못하면 열등감 부모가 되며 신체, 경제, 사회, 가정, 학업 등 자신의 열등감 종류에 따라 아이를 괴롭히게 된다.

 중요한 건 열등감이 있느냐 없느냐가 아니라 부모가 자기 안에 감춰진 열등감을 얼마나 긍정적으로 잘 관리하느냐이다. 여기에 따라 아이의 삶이 결정되기 때문이다.

 열등감을 가진 사람에게는 자기방어기제라는 것이 강하게 작용한다. 자기를 방어하는 데 민감하다는 말이다. 자기에게 조금만 손실이 나도 참지 못하기에, 아이가 부족한 것 역시 참을 수 없는 모욕이라 느낀다. 열등감이란 달리 표현하면 자기 자신의 자질이 부족하다고 느끼는, 약간은 병적인 태도로부터 발생하는 강하고 계속적인 긴장 상태라고도 정의할 수 있다.

 열등감으로 가득 찬 부모가 아이에게 끊임없이 공부를 강요할 경우, 아이는 삶의 목표를 점점 잃게 되고 아이 역시 열등감으로 가득 찬 인간이 되어 간다. 열등감을 가지면 학교는 물론이고 사회적인 관계에 적응하기도 힘들어지고 시간이 지날수록 점점 더 고립되어 갈 뿐이다.

 산만한 아이를 둔 부모의 문제 유형을 살펴보면 또 하나 빠지지 않고 등장하는 것이 있다. 부모가 지나치게 도덕적이거나 또는 도덕적인 척 한다는 것이다.

 지나치게 도덕적이고, 그로 인해 평가 기준이 엄격한 부모는 아이에게도 완벽을 추구한다. 작은 실수를 하거나 숙제를 깜박하는 것, 아이가 다른 사람에게 예의 없게 구는 것, 또 남에게 피해를 주는 것을 극도로 싫어할 뿐더러 자기 아이가 밖에 나가서 남들에게 욕을 먹게 될까 봐 늘 전전긍긍한다. 어느 정도 도덕적 가치관을 강조하고 성숙한 행동을 요구하는 것은 당연한 일이겠지만, 이것이 아이를 잘 키우기 위해서라기보다는 본인이 그 순간을 못 견디기 때문이라면 문제가 있다.

 폭력을 행사하는 사람의 마음은 열등감으로 가득 차 있다. 상대에게 어떤 상처를 가하지 않으면 자신이 이길 수 없다고 생각하는 심리 자체가 열등감에서 오는 것이다.

 잔소리가 아이의 행동 변화에 도움이 되지 않는다는 것을 알게 되었을 때 열등감이 없는 부모라면 잔소리를 멈출 것이다. 그러나 열등감이 가득한 부모는 그것이 불가능하다. 행동에 변화가 없는 것은 잔소리가 부질없어서가 아니라 잔소리의 강도가 약해서라고 생각한다. 이런 생각의 이면에는 아이에게 밀리면 안 된다는 열등감이 자리 잡고 있다.

 사람은 누구나 신체적, 정신적으로 또는 환경적으로 스스로에 대해 부족하다고 느끼는 것들이 있다. 그런데 자기의 부족한 점을 그냥 담담히 인정하는 수준이 아니라 지나치게 의식하고 집착할 때, 다른 사람과 비교하거나 자신을 탓할 때 생기는 감정이 바로 열등감이다.

 또 자기 스스로를 너무 작게 보기 때문에 남에게는 오히려 과장되게 보이려고 노력하고, 그로 인해 있는 그대로의 자신을 남이 보지 못하도록 하는 것이기도 하다.

 열등감은 기억이나 무의식 속에 자리 잡고 있는 어린 시절의 기억에 대한 반응이라고도 할 수 있다. 사람에게는 긍정적이고 아름다운 기억도 있지만 부정적이고 심한 상처투성이의 기억도 공존한다. 일반적으로는 어떤 상황이나 행동, 태도나 기억이 그 사람의 현재 행동을 괴롭힐 때 자기도 모르게 자연스러운 반응으로 나타나는 것이다.

 또한 지나칠 정도로 자존심이 강하거나 자신을 방어할 수밖에 없는 상황에서 자신을 보호하기 위해 생겨나기도 한다. 순간적으로 곤경에서 벗어나야 하지만, 벗어날 길이 없을 때 어쩔 수 없이 곤란할 상황을 받아들일 때 생긴다.

 이것이 정상적인 범주에서 벗어나지 않으면 인격 형성에 좋은 동기가 될 수도 있고 곤란한 과정을 벗어나기 위해 노력하는 과정에서 창의성이 발휘되기도 한다. 열등감을 극복하기 위한 노력은 긍정적인 시너지 효과를 발생시켜 삶의 원동력으로 작용하기도 한다.

 열등감이 가득한 어른은 한마디로 말해 편견으로 똘똘 뭉쳐 있으면서 지독하게 외로운 존재이다. 이들은 다른 사람을 대할 때도 좋은 점 보다는 나쁜 점을 더 먼저 보고 더 많이 본다. 그리고 남이 자신의 약점을 알아차릴까 두려워 자기 방어를 많이 하게 된다. 지나치게 자랑을 많이 하는 사람일수록 열등감도 많은 사람일 확률이 높다. 그러다가도 또 별 것 아닌 이야기에 발끈하며 예민한 반응을 보이는 것이 바로 열등감을 가진 이들의 대표적인 특징이다.

 아버지와 아이의 관계는 아이가 자랄수록 긍정적인 관계가 될 수도 있고, 부정적인 관계가 될 수도 있다. 모든 것은 아버지가 아버지로서의 역할을 얼마나 충실하게 감당하느냐에 달렸다. 한 연구 결과에 의하면, "아버지와 함께 많은 시간을 보낸 아들일수록 인지 능력이 높고 이해력도 높으며 자신감이 많아 자기를 통제하는 능력이 높다."고 했다.

 남자아이는 아버지를 남성의 모델로 삼을 것이며, 여자아이는 아버지가 어머니를 대하는 모습을 통해 남성에 대한 가치관을 형성하게 된다.

 아버지가 여성을 존중하고 사랑하고 보호해 주는 모습을 보고 자란 여자아이는 아버지와 같은 이미지의 남자 친구를 찾게 된다. 반면에 아버지의 여성 비하, 가정 폭력, 인격적인 모독, 이해할 수 없는 부정적인 행동에 노출된 여자아이는 남성 자제를 혐오하여 결혼을 미친짓이라고 생각하거나 남성 기피 현상을 초래하게 된다.

 아버지의 삶이 생략된 자녀 교육은 자녀가 현실을 왜곡되게 받아들이고 자신의 감정마저 통제할 줄 모르도록 만든다. 자녀가 일으키는 많은 문제들은 그동안 생략된 아버지의 역할과 기능이 만들어 낸 종합적인 결과이다.

 아이를 잘 키우고 싶다면 무한한 사랑과 신뢰를 주어야 한다. 그러려면 자주 안아 주고 사랑한다고 말해 주는 것이 가장 좋다. 신체 접촉은 마음에 깊은 안정감을 주기 때문이다.

 아버지가 정신적 지주라면 어머니는 마음의 고향이 되어야 한다. 언제고 포근하게 아이를 안아 주고 이해해 줄 수 있는 역할이 바로 어머니의 진정한 역할이다.

과거시험이 전 세계 역사를 바꿨다고?

과거시험이 전 세계 역사를 바꿨다고? - 요즘도 과거시험을 보면서 살고 있는 아이들 ㅣ 특서 청소년 인문교양 2
이상권 지음 / 특별한서재 / 2018년 4월

 예나 지금이나 어른들은 아이들이 노는 걸 별로 좋아하지 않는다. 어떻게 해서든 노는 것을 줄이고 공부를 시키려고 하는데, 옛날 어른들이 아이들에게 권장했던 놀이가 있다.

 그게 바로 주사위 놀이다. 주사위라는 말은 유럽에서 온 놀이를 번역하면서 생긴 것이고, 우리나라 토종 말은 윤목이라고 한다. 그래서 옛날 사람들은 윤목 놀이라고 불렀고, 승경도 놀이라고도 했다. 놀이판을 승경도라고 했기 때문이다.

 요즘은 집안에서 아이들 교육을 주로 엄마들이 책임진다. 그런데 옛날에는 가장 어른인 할아버지가 손자들 교육을 책임졌었다.

 대표적으로 김진이라는 사람을 들 수가 있다. 김진은 과거에 합격하여 공직에 임명되었으나 오래 머물지 않고 사직서를 낸 다음 고향으로 내려가서 자식 교육에 힘썼다. 그 결과 다섯 명의 아들이 과거에 합격했다.

 시험 날짜가 다가오면 관할 관청에 가서 수험생 등록을 해야 한다. 옛날에는 요즘처럼 전산화가 되어 있지 않았기 때문에 등록 절차가 복잡하고 까다로웠다. 신분증 역할을 하는 것들이 있기는 했어도 요즘처럼 사진을 찍어서 부착할 수가 없었다. 그래서 수험생이 가짜가 아닌지 구별해야 하기 때문에 나름대로 까다롭게 하는 것이다.

 현직 관리의 아들이나 명문가의 아이들은 그 절차가 까다롭지 않았지만 별 볼 일 없는 사람들은 그 시작부터 복잡했다. 그중 하나가 신원 검증을 받아야 하는데, 그러기 위해서는 사조단자라는 것을 제출해야 했다.

 요즘으로 말하면 가족관계증명서라고 할 수 있지만 가족의 범위가 아주 넓어서 친가와 외가 4대조까지 신원을 확인할 수 있는 문서라고 생각하면 된다. 당연히 이름이 있고, 생년월일, 관직 등이 자세히 적혀 있다. 그것을 보고 조상들 중에서 죄인이나 반역자는 없는지를 확인하는 것이다.

 조상들 중에서 중대한 죄를 지은 죄인이 있는 경우에는 시험을 볼 수가 없었다. 당연히 천민들도 볼 수가 없었다. 사조단자는 조상들 중에서 문제가 있는지 없는지를 알아보는 것이었다.

 지금은 초등학교부터 무상교육을 실시하지만 조선시대는 그렇게 하지 않았다. 초등학교였던 서당을 무상교육하게 되면 나라에서 아주 돈이 많이 들어갈 것이고, 또한 양반이 아닌 사람들이 마음껏 공부를 할 수 있을 것이다. 그렇게 되면 양반이 아닌 사람들 중에서도 과거 합격자가 나올 수 있었을 것이다.

 그러니 기득권을 가지고 있는 양반들이 초등학교부터 무상교육을 할 리가 없었을 것이다. 그래서 조선은 요즘 하고는 정반대로 대학부터 무상교육을 실시한 것이다. 조선의 최고 대학이었던 성균관부터 중등학교였던 향교까지는 무상교육을 했지만 평민들이 많이 다녔던 서당은 무상교육이 아니었다.

 성균관이란 조선을 이끌어갈 맞춤형 공무원을 배출해내는 곳이다. 그러니 성균관에만 입학하면 어느 정도 출세가 보장된 셈이었다. 성균관에 입학했다는 그 자체만으로도 보통 사람들은 성균관 학생들을 우러러보았다. 지금 로스쿨하고 거의 비슷하다고 할 수 있다. 왜냐면 성균관에 입학하면 거의 다 과거시험에 합격할 수 있었다.

 그래서 양반들 중에서는 성균관에 입학한 학생들을 정략적으로 사위삼기도 했다. 성균관 학생들 입장에서도 그런 결혼식을 마다하지 않았다. 왜냐면 보다 더 좋은 가문의 사위가되면 그만큼 든든한 백이 생기는 것이고, 훨씬 더 수월하게 공부하여 과거에 급제할 수 있었다. 

던바의 수

던바의 수 - 진화심리학이 밝히는 관계의 메커니즘
로빈 던바 지음, 김정희 옮김, 최재천 / arte(아르테) / 2018년 4월

 로빈 던바는 자연과학에서 특별히 창의성이 필요한 진화심리학계에서도 가장 창의적인 학자 중 한 사람이다. 던바는 한 개인이 맺을 수 있는 사회적 관계의 최대치가 150이라는 사실을 알아냈다. 우리는 이를 '던바의 수'라 부른다.

 던바의 수를 쉽게 정의하는 방법이 하나 있다. 여행 중에 비행기를 갈아타기 위해 경유지인 홍콩에 잠시 둘렀다고 가정해보자. 당신이 새벽 3시에 여객용 라운지에서 누군가를 보고 다가가 "여기서 만나네. 여행은 어땠어? 오늘 진짜 젊어 보이는데!"라고 말을 걸어도 전혀 어색하지 않을 사람들이 바로 던바의 수에 포함시켜야 할 사람들이다.

 사실 그들은 당신이 그런 식으로 말을 걸지 않으면 약간 화를 낼 수도 있다. 당신은 상대방에게 당신을 소개할 필요가 없다. 이미 서로 사회적 공간에서 어느 위치에 있는지 알고 있기 때문이다.

 자연선택이 인류를 위해 어렵사리 진화시킨 모든 특성 중 가장 가치 있는 것은 단연 인간의 뇌다. 뇌는 진화의 역사상 가장 훌륭한 발명품이다. 뇌의 구조는 우리의 행동을 환경에 맞추어 정교하게 조정하여 다른 생명체들이 겪는 최악의 진화 과정을 피할 수 있도록 설계되었다.

 우리는 포옹을 하거나 쓰다듬거나 어루만지거나 다독거리는 등 다양한 형태로 친밀한 접촉을 한다. 피부를 통해 전달되는 물리적 자극은 뇌에 엔도르핀 분비를 유발한다.

 엔도르핀은 화학적으로 모르핀이나 아편과 유사한 내인성 오피오이드계에 속한다. 즉 엔도르핀은 우리 몸에 약하지만 만성적인 통증이 느껴질 때 개입하는 통증 조절 메커니즘으로 뇌가 자체적으로 만들어내는 진통제라고 할 수 있다.

 우리가 느끼는 강렬하고 날카로운 통증은 빠르거나 느린 두 가지 신경통증 회로로 완화되는 반면, 조깅이나 규칙적인 운동 혹은 가벼운 정신적 스트레스로 발생하는 약한 통증은 엔도르핀계 호르몬으로 완화된다.

 인간에게는 가깝다고 느끼는 사람들을 쓰다듬거나 만지고 싶은 강렬한 욕구가 있다. 그 욕구는 우리가 어쩔 수 있는 것이 아니다. 어떤 유형의 친밀한 관계에서든 접촉은 우리가 제일 먼저 하고 싶어 하는 행위다. 접촉에는 서로 강렬한 친밀감을 느끼게 하는 요소가 있다. 그런 감정은 단순히 손을 잡거나 팔을 두르는 정도의 접촉만으로도 충분히 느낀다.

 접촉은 본능적이고 직감적이며 우리의 정신 아주 깊은 곳에 있는 원초적인 감각을 건드린다. 촉각은 진화적으로도 좀 더 나중에 발달한 언어중추, 즉 좌뇌와는 별로 관계가 없고 감정을 담당하는 우뇌와 관련이 있다.

 진리심리학자들은 이따금 인간을 '우주를 경험하는 시대에 석기시대의 정신을 가진 자들'이라고 풍자한다. 인간의 정신은 뇌의 산물이고 뇌는 그다지 빠르게 진화하지 못한다. 따라서 우리가 생각하고 삶의 경험에 반응하는 방식은 필연적으로 오래전 과거의 환경에 적응한 뇌를 반영할 수밖에 없다.

 말하자면 우리의 사고방식과 삶의 경험에 반응하는 방식은 펼연적으로 오래전 과거 환경, 그러니까 넉넉잡아 약 50만 년 전부터 현생인류가 최초로 농사법을 개발하고 촌락을 구성하고 살면서 생활 방식과 환경 모두에 변화가 생기기 시작한 약 1만 년 전 사이에 적응한 뇌를 반영할 수밖에 없다.

 일부 진화심리학자들에게 중요하게 생각될만한 한 가지 분명한 사실은 인간의 행동 대부분이 우리가 살고 있는 현 시대와 일치하지 않는다는 점이다. 사실 우리는 현 시대에 아직 잘 적응하지 못하고 있다.

 즉, 세상은 과거와 비교해 생활 방식이나 환경 면에서 완전히 달라졌지만 아직 우리는 아프리카 평원에서 사냥하는 사람들처럼 반응한다는 것이다. 우리는 이성이 아니라 본능에 따라 행동한다.

그 겨울의 일주일

그 겨울의 일주일
메이브 빈치 지음, 정연희 옮김 / 문학동네 / 2018년 1월

 이 소설은 치키, 눌라, 리거라는 세 인물들의 이야기로 우리들의 일상과 별반 다르지 않은 인생을 이야기 하고 있다. 그래선지 읽으면서 공감도 가고 재미도 있다.

 스토니브리지의 라이언 씨 농장에서는 모두 각자 맡은 일이 있었다. 아들들은 들판에서 아버지를 도와 울타리를 고치거나 소떼를 몰고 와 우유를 짜거나 고랑을 파서 감자를 심었다. 메리는 송아지들에게 먹이를 줬고, 캐슬린은 빵을 구웠고, 제럴딘은 암탉을 돌봤다. 사람들은 제럴딘을 옛날부터 치키라고 불렀다. 또한 치키는 풀이 무성하게 자란 스톤하우스의 드넓은 정원에서 즐겨 놀았다.

 치키는 월터와 첫눈에 반해 가족들의 반대에도 불구하고 월터를 따라 미국으로 떠난다. 그리고 꿈같은 둘만의 시간을 보내다 월터가 치키를 떠나게 된다. 치키는 가족들의 반대에도 얼터와 미국으로 온 것이라 월터와는 헤어졌지만 집으로 돌아가고 싶지 않았다.

 그래서 치키는 월터는 떠났지만 미국에 남아 일자리를 찾던 중 게스트하우스를 하는 캐시디 부인을 찾아가 자신을 채용해 달라고 얘기한다. 캐시디 부인은 치키가 맘에들어 채용하게 되고, 게스트하우스에서 생활하게 된다. 그리고 가족들은 치키가 여전히 월터와 잘 지낸다고 알고 있다.

 치키는 미니퀴니로부터 자신의 스톤하우스를 호텔로 개조해 운영해볼 것을 제안받는다. 치키는 고민 끝에 수락하게 되고 스톤하우스를 호텔로 리모델링 하게 된다.

 그리고 치키는 어린시절 친구인 눌라를 만나게 된다. 눌라는 한 남자를 만나 사랑하다 치키와 마찬가지로 남자는 눌라를 떠난다. 그러나 눌라는 아기를 임신하게 되고, 아들 리거를 낳게 된다. 눌라는 스톤하우스에서 가정부로 일했었다.

 이 책은 읽으면 읽을수록 뒷 내용이 궁금해 책을 손에서 놓을 수 없다. 소설에서 자주 다뤄지는 사랑이야기. 하지만 현실은 드라마에서 보는 그런 사랑과는 거리가 멀다는 것을 이 소설에서도 보여주고 있다. 또한 책 분량이 얼마되지 않아 부담없이 읽을 수 있다.

 우리들은 인생을 살면서 기회라는 것이 찾아온다고 흔히들 말한다. 치키에게도 이런 기회가 스톤하우스와 함께 찾아온다. 낡은 저택 스톤하우스를 호텔로 바꾸게 된다. 이 소설에는 스톤하우스가 호텔로 변화되는 과정과 오픈하기까지가 이야기 된다.

초등수학 만점 공부법

초등수학 만점 공부법 - 상위1% 아이를 만드는 ㅣ 만점 공부법 1
조안호 지음 / 행복한나무 / 2009년 8월

 어떤 사람은 초등수학과 중학수학이 본질적으로 다르다고 말한다. 하지만 개념으로 점근하면 많은 부분이 중복된다. 물론 수학을 외우는 과목이라고 생각하는 사람한테는 엄연히 수준이 다를 것이다.

 중고등학교와는 달리 초등수학은 개념을 익히기 전에 선행해야 할 일이 있다. 연산을 익히고 개념을 공부하여 수학의 확장을 꾀하는 것이 그것이다. 이것이 수학을 공부하는 올바른 순서라고 본다. 연산을 익힌 중고등학교에서는 개념부터 접근해야 하지만 초등학교에서는, 특히 저학년일수록 개념보다는 먼저 수연산을 시켜야 한다.

 중학생의 50퍼센트, 인문계 고등학생의 70~80퍼센트가 수학을 반쯤 포기하는 상황에서 수학을 잘한다는 것은 곧바로 상위권으로 진입함을 뜻한다. 게다가 표준점수로 환산했을 때 국어나 영어에 비해 훨씬 점수 차이도 크므로, 사실살 이를 대치할 수 있는 과목은 없다. 국어를 제외하고 수학은 가장 오랫동안 준비해야 그 성과를 볼 수 있는 과목이다.

 수학을 크게 보면 초등학교에서는 연산을 배우고, 중학교에서는 수식을 익히며, 고등학교에서는 수식의 확장을 도모한다. 이것이 수학의 기본단계로, 이것과 함께 개념만 튼튼히 잡으면 상위권에는 무난히 진입할 수 있다. 어려운 문제는 상위권에 가서야 도전하면 된다. 이것이 수학을 잘하는 유일한 것이다.

 초등수학은 '연산 -> 개념 -> 확장' 순서로 공부해야 한다고 한다. 수에는 자연수와 분수가 있어 각 연산은 이 순서와 확장을 따라야 한다. 초등수학을 전체적으로 보면 1학년 때는 자연수에서 덧셈뺄셈의 가로셈을 하고, 이것을 확장하여 2학년에서는 세로셈을 한다. 두 자리 수의 곱셈과 나눗셈으로 3학년까지 자연수의 사칙연산을 모두 배운다. 그리고 4학년 때는 사칙연산을 바탕으로 큰 수나 혼합계산 등 자연수의 확장을 작게나마 완성한다. 이제 4학년 말에 배우는 분수의 기본을 발판 삼아 5학년 때는 분수의 사칙연산을 한다. 6학년에서는 당연히 분수의 확장을 다룬다.

 연산력을 기르는 학년은 1 · 3 · 5 인 홀수 학년으로, 가장 중요한 학년이다. 1학년에는 덧셈과 뺄셈의 가로셈으로 암산력을 기르고, 3학년에는 구구단과 암산력을 바탕으로 곱셈과 나눗셈에서 빠르기를 완성한다. 5학년에는 분수의 사칙연산을 배워 분수의 기초를 다진다. 각 개념을 완성하기까지 대략 1년 정도가 소요되는데, 그것도 최소한 필요한 시간이다.

 수학은 고등학교까지 갈 길이 멀다. 진정한 수학을 잘하려면 초등학교에서는 최소한 연산에 3년을 투자해야 한다. 가르치는 사람이나 배우는 사람 모두에게는 긴 시간이겠지만 전체로 봤을 때는 그리 긴 시간이 아니다. 

 수학을 지도하는 방법은 두 가지다. 하나는 개념 위주로 가르치는 방법이고, 다른 하나는 결과 위주로 가르치는 방법이다. 결과 위주로 가르치는 방법은 가르치기는 쉬우나, 개념 위주보다 훨씬 더 많이 반복해야 효과가 있다. 개념 위주로 가르치는 방법은 가르치기도 어렵고, 배우는 학생도 어렵게 느낀다. 게다가 겨우 어렵게 이해했다가도 금세 잊어버려서 웬만한 부처님 가운데 토막이 아니고서는 반복해서 가르치기가 어렵다. 그러나 개념 위주로 배우고 익힌 지식은 토대가 튼튼하여 어려운 다음 단계로 이행할 때 강력한 힘을 발휘한다.

 초등학교에서 배우는 연산만큼은 지능 발달과 언어적 측면에서 결과 위주와 개념 위주의 방법을 병행해서 가르쳐야 한다. 결과 위주로만 가르치는 방법은 많은 반복으로도 끝까지 개념이 형성되지 않을 수 있다.

 많은 반복으로 나중에 개념이 형성되기도 하나, 이미 과정이 지나가서 형성된 개념을 연습하기가 어려워 성적은 더욱 낮아지는 악순환이 발생한다. 문제를 많이 풀어 성적이 올라가는 시기는 중학교 때까지고, 고등학교에서 개념 없이 문제 유형만으로는 수학을 감당할 수 없다.

 초등수학의 공부는 연산과 함께 기호의 의미를 충실히 다진 뒤 2 · 4 · 6 의 짝수 학년에 전 학년에서 배운 연산을 확장하는 순으로 진행된다.

 수학 공부는 기존 개념을 바탕으로 새로운 개념을 습득하는 과정이다. 완성이 아니라 항상 다음을 위한 과정 중에 있다는 말이다. 덧셈을 할 수 없는 아이는 뺄셈을 할 수 없고, 덧셈과 뺄셈을 할 수 없는 아이는 곱셈을 할 수 없으며, 곱셈을 할 수 없는 아이는 나눗셈을 할 수 없다. 자연수를 못하면서 분수를 할 수는 없고, 방정식을 못하면서 함수를 할 수는 없다.