수학을 재미있게 배워보자

상위 5%로 가는 수학교실 1 - 기초 수학 -상 ㅣ 상위 5% 총서 5
김창호.김승국 외 지음, 백명식 그림 / 스콜라(위즈덤하우스) / 2008년 1월

수학은 모든 과목의 기초라선지 무척 어렵다. 거기다가 완전수, 소수같은 쓸데없는 것은 왜 배우는지 의문을 가질 것이다. 하지만 이 모든 것에는 이유가 있다는 것을 말해주고 싶다. 그 이유를 이 책에서는 매우 쉽게 소개해준다.

집합. 이 집합이란 것은 다양한 경우에서 사용된다. 우리 학교 회장들의 모임도 집합이고, 기름에 튀긴 음식들의 모임도 집합이다. 안경낀 학생들의 모임도 집합이고, 수학에 관련된 책들도 집합이다. 조건이 일정하기만 하다면 모두 집합이 될 수 있는 것이다. 이 집합을 의미하는 유명한 그림이 바로 벤이 정리한 벤 다이어그램이다. A와 B가 있을 때, A와 B의 집합의 원소가 어디에 속하는지 쉽게 설명할 수 있는 그림이다.

0이란 수는 정말 신비하고 고마운 수다. 과거의 로마때만 해도 0은 악마의 숫자라 하여서 멀리했고 그만큼 로마 사람들은 정말 고생을 많이 했다. 멍청한 교황이 0을 나쁜 숫자라며 비난했기 때문에 로마가 더 발전할 수 있는 기회를 놓쳐버렸다. 때때로 사람들의 편견이 인류의 발전을 더디게 만드는 것이다. 하지만 지금은 0이 쓰이는데, 이 0이 있었기에 더 쉽게 숫자를 표시할 수 있었다. 만약 지금 0이란 개념이 없었다면 수를 세는 것이 정말 힘들었을 지도 모른다.

방정식과 부등식은 이름만 들어봐도 무척 어렵게 느껴지는 것들이다. 그렇지만 알고보면 무척 쉬운 분야이다. 방정식인 이항의 개념만 알고 있다면 쉽게 이해할 수 있고, 이 부등식의 경우에도 좋은 예를 들어보면 매우 재미있다. 엄청난 실력자라는 나라 이탈리아와 한국이 대결하게 되었을 때, 우리나라가 희망이 없음에도 불구하고 결국에는 2:1로 우승할 수가 있었다. 이 때 한국이 첫 골을 넣었을 때는 그 열기가 더욱더 강했고, 2라는 숫자도 1보다 더 컸다. 이 때 다양한 경우에서 부등호를 사용할 수 있다. 함성은 한국이 더 컸으니 한국>이탈리아였고, 사람들이 보는 수준은 이탈리아>한국이었다. 그렇지만 결국 한국은 이기지 않았는가? 이처럼 축구에서도 부등식의 예를 들어볼 수가 있다.

경우의 수는 6학년때 배우는 것으로, 어떠한 경우에 그 경우에 해당하는 것의 갯수를 나타내는 것이다. 이 경우의 수란 것이 확률과 밀접한 관계가 있는데, 경우의 수를 가진 대표적인 예가 바로 로또 복권이다. 이 로또 복권은 45개의 숫자를 서로 다른 순서로 6개만 골라내는 것이므로 로또에 당첨될 확률은 800만분의 1이다.

수학이란 정말 신비한 학문이다. 단지 계산때문에 고민할 필요만은 없다. 수학도 알고보면 재미있는 면이 많기 때문에 배우다 보면 자연히 재미가 붙게 된다. 그러니 내가 수학을 무척 좋아하는 것이다. 내 친구들에게도 수학이 얼마나 재미있는지를 알려주고 싶다.

빅토르, 샤를로트 남매의 모험

선물의 수수께끼를 풀어라 ㅣ 수학추리동화 2
나탈리 지메르망 글, 루드밀라 피프첸코 그림, 곽노경 옮김, 정연숙 감수 / 주니어김영사 / 2008년 2월

추리를 좋아하던 나는 이번에도 추리 동화가 와서 무척 행복했다. 저번에는 과학추리동화였으나 이번에는 수학추리동화였다. 이 책은 매우 특별한 방식으로 짜여져 있는데, 이야기가 이어져 나가다가 문제가 나와 그 문제를 풀면 다음 이야기를 볼 수 있는 형식이다. 페이지도 뒤엉켜 있어서 반드시 문제를 풀어야만 볼 수가 있었다. 그렇지만 문제 하나하나를 풀어가면서 읽는 재미가 가득한 책이다.

빅토르, 샤를로트 남매는 건축장에서 일하시는 아버지 때문에 이리저리 이사를 다니는 아이들이다. 어느날 문 앞에 놓인 지갑, 무화과 열매 그리고 타란툴라, 장미 석고꽃을 통해 호기심을 불러일으킨다. 그리고 광활한 사막으로 범인을 찾아 먼 여행을 떠난다.

문제들은 물론 나에게는 대부분 쉬운것들이었으나, 아직 수학을 제대로 배우지 못한 어린이라면 이 책을 권장한다. 재미있게 학습을 할 수 있으므로 이 책을 무척 추천하는 것이다. 연산, 배수, 도형, 시간 개념뿐만 아니라 과학상식들까지 포함되어있으니 무척 좋은 책인 것 같다.

우리 몸에는 다섯가지 감각이 있다. 촉각, 시각, 청각, 후각, 미각이 바로 그 것이다. 이 오감에 대한 설명도 이 책에 매우 자세하게 나와있다. 특히 종려나무의 잎에 대한 다른 나무와의 차이점에 대해 알려주는 것은 매우 좋았다.

최근에는 이런 형식의 퀴즈게임북을 보지 못했다. 그런데 오랜만에 이런 재미있는 책을 보게 되니 무척 기분이 좋다. 앞으로도 이 추리동화 시리즈를 하나도 빠짐없이 꼼꼼하게 보아야겠다.

숫자가 필요없는 수학, 도형

도형이 도리도리 ㅣ 앗, 이렇게 재미있는 과학이 109
샤르탄 포스키트 글, 김은지 옮김, 필립 리브 그림, 김화영 감수 / 주니어김영사 / 2008년 1월

도형은 수학에 있어 매우 특별한 학문이다. 왜냐하면 유일하게 숫자를 쓰지 않고 선과 면을 이용한 것이기 때문이다. 계산이 복잡하다고 걱정할 필요는 거의 없이 그리면 되는 것이다. 하지만 도형에서도 숫자는 존재하다는 것을 얼마전 6학년 수학을 배우며 알게 되었다. 입체 도형에서는 도형의 부피와 밑면등도 계산해야 했고, 원의 둘레등의 문제에서는 한참 동안 3,14와 싸워야 했다. 그렇지만 그래도 나는 도형이 무척 좋다. 왜냐하면 그리면서 비밀을 푸는 그 재미가 있기 때문이다.

나는 언제나 나오는 찰거머리 박사를 무척 고맙게 생각한다. 왜냐하면 평범한 생각을 하면 모순이 되는 수학 문제를 제공해 언제나 나에게 지혜를 불어넣어 주기 때문이다. 특히 ㅣ><ㅣ이런 모양의 육각형을 선 하나로 삼각형 두개밖에 만들지 못하는 모순을 주었는데 이것은 멀리 떨어져 있는 대각선으로만 연결한다면 쉽게 해결 가능한 문제였다. 하지만 마침 두유를 마시다가 생선 기름 속에서 나온 찰거머리를 보니 갑자기 속이 울렁거렸다. 우웩! 앞으로는 앗! 시리즈를 보면서 음식을 먹어서는 절대 안 되겠다.

중학 수학의 마지막이라 할 수 있고, 누구라도 끙끙대는 피타고라스의 정리! 이 피타고라스의 정리는 '도형이 도리도리'의 마지막 부분에서 피타고라스가 직접 나와 소개한다. 그의 정리는 a²+b²=c²라는 공식이다. 제일 간단한 예로는 3²+4²=5²이다. 이것은 곧 9+16=25와 같다. 이러한 정리는 대부분의 경우에서 적용된다.

자꾸 증명을 해 보라는 재판관 아저씨가 귀찮기는 했지만, 그래도 그 식에 대해 정리를 하는 것은 쉬웠다. 앞으로도 앗 시리즈를 모두 즐겁게  보아야 겠다.

수, 그 끝없는 위대함

이상야릇 수의 세계 ㅣ 앗, 이렇게 재미있는 과학이 107
샤르탄 포스키트 글, 필립 리브 그림, 김은지 옮김 / 주니어김영사 / 2007년 12월

다양한 수학책을 보거나 선행을 하면서, 수학에 대해 정말 여러가지에 대한 것을 배운 나였기에 처음에는 1+1이나 하고 있던 이 책을 우습게 보았다. 하지만 가면 갈 수록 수를 쉽게 나타내는 법이나 완전수에 대한 이야기도 있었다. 나는 완전수에 대한 이야기를 듣고 매우 놀랐었다. 완전수는 처음 수는 6, 그다음은 28, 496, 8128이다. 그 다음 완전수는 사람이 완전히 늙을 때까지 찾지 못하였었으며,  결국엔 33550336이란 결과가 나왔다. 하지만 그 다음수에 비하자면 이 수는 아무것도 아니었다. 바로 8589869056이란 수가 나온 것이다. 하지만 유클리드의 완전수를 구하는 공식이 나온 이후, 급기야 31번째 완전수까지 구해냈다. 그 31번째 완전수는 2의 216090승 X2의 216091승-1이다. 그 수는 자릿수만 130,099개가 되어서 그 숫자를 직접 쓴다면 이 글의 길이가 아마도 지금까지 있는 모든 리뷰와 비교해 제일 긴 리뷰가 될 것이다. 그렇기 때문에 사람들은 유클리드의 공식을 통하여서 많은 완전수들을 알아내었다. 나조차도 이러한 생각을 했는데. 많은사람이 이 발견을 '쓸데없는 짓'이라고 표현할 것이다. 그렇기 때문에 이 책도 아주 쓸모없는 상에 대해서 강조를 많이 하였던 것 같다. 하지만 수학자들이 그런 일을 하는 이유는 상을 받기위해서만이 아니다. 단지 인류에게 즐거움을 주기 위해서만을 위해 연구를 한다. 많은 수학자들이 그렇게 일을 할 것이다.

루트와 제곱근은 관계가 있다. 제곱근은 같은 수를 곱하는 것('승'이라고도 부른다.)의 수이고 루트는 어떠한 수의 제곱근을 나타내는 것이다. 그렇기 때문에 어떠한 수의 제곱이 어떤 수가 되는 경우를 나타내는 데도 여러가지 있을 뿐만 아니라, 무척 흥미로운 식이 하나 있다. ( )⁴+( )⁴+( )⁴=( )⁴는 될 수 없다고 오일러가 말하였고, 곧 이어 이러한 수식들이 나왔다.

2682440⁴+15365639⁴18796760⁴+=20615673⁴

이런 수학의 반박의 반박이 끊임없이 나타나므로 수학이 재미있는 학문이라고 나는 생각한다. 그래서 나도 수학을 무척 좋아한다.

수학을 연구하는 것이 정말 쓸데없는 짓이라 할지라도, 결국엔 유클리드처럼 수학에 완전한 흥미를 가지고서 연구를 해 지금은 사람들에게 크게 칭송받고 있지 않는가? 그렇기 때문에 나는 수학이 완전히 쓸데없는 짓은 아니라고 본다. 수학에 대해 모르던 것을 무척 많이 배웠기에, 앞으로도 이 책을 많이 참고하고서 새로운 지식을 알아가는데 사용을 해야 겠다.

신비한 수와의 만남

무한도전 신비한 수학탐험
크리스토프 드뢰서 지음, 전은경 옮김, 김흥규 감수 / 북로드 / 2007년 8월

나는 수학을 정말 좋아한다. 너무 좋아함과 동시에 새로운 내용을 배우고 싶어하는 호기심도 매우 왕성하다. 하지만 나에게 있어서 아직 풀리지 않는 어려운 문제가 존재하는 것은 사실이다. 제논의 역설을 이해하기는 했으나 왜 말이 안 되는지는 아직 모르고, 무한의 개념이 무엇인지도 아직 정확히 모른다. 그런 나에게, TV인기 프로그램 무한 도전이라는 이름을 가지고서 무한에 대해 수학박사 라우라와 배우는 이야기는 참 흥미진진했다.

무한+1=무한, 곧 1=0이란 식이 성립된다. 무한+무한=무한, 곧 무한=0이라는 사실도 알 수 있다. 무한X무한=무한, 곧 무한은 1이란 사실도 성립된다. 1=0이고 무한은 0또는 1이 될 수 있다는 이 엉뚱한 계산은 도대체 무엇인가? 이 이야기는 인피니티 호텔, 곧 무한 호텔에 관한 이야기를 나눌 수가 있다. 이 무한호텔에는 무한히 많은 방이 있고, 그 곳에는 무한히 많은 손님들이 찾아온다. 그 무한히 많은 사람들이 방에 다 들어갔을 때 한 명이 더 찾아오면 순서를 한명씩만 더 늘리면 해결할 수 있으나 무한에는 끝이 없으므로 끝 자리에다가 손님을 넣는 것 따위는 전혀 할 수 없는 일이다. 거기다가 소수인 사람들이 와서 할 수 있는 일도 이미 있던 사람들의 자리에 2를 곱한 곳에 있다면 홀수인 소수 사람들이 각 방을 차지할 수가 있다.

이처럼 무한은 해결하기 힘들어도 약간만 머리를 쓰면 해결할 수 있는 것이다, 수학의 개념에서 무한이란 아주 조심히 다뤄야 하는 것이다. 이 무한은 지금도 정립되지 않은 것인데, 무한이 있다라는 말 자체에서부터 문제가 된다. 무한은 한계가 전혀 없는 것인데 무한의 존재는 전혀 말이 되지 않는다는 것이다.

우리 생활속에서 무한의 예를 찾을 수 있는 것이 몇 개 있다. 보통 상표에서 보면 그 상품이 어떻게 쓰이는지를 설명하는 그림 안에 분명히 그 물건이 들어있게 될 것이다. 그 물건에는 또 다시 상표가 있을 테고, 그 상표 안에도 분명히 그 물건 그림이 또 그려져 있을 테이고, 이렇게 반복된다면 결국 무한 반복인 셈이다. 우리 집에도 그런 예가 하나 있다. 우리 집에 그릇으로 밥을 먹는 팬더가 그려진 그릇이 있는데, 그 그릇안의 그릇 그림에는 또 팬더와 그릇이 있고 또 그 그릇 안에도 팬더와 함께 그릇 그림이 그려져 있다. 이 반복은 무한의 일종이다. 이러한 반복이 이루어지면서 무한이라는 개념이 성립되는 것이다. 이 끝이 없는 것은 누구도 쉽게 설명할 수가 없다.

개념이 어려운 무한, 톰과 라우라와 함께 배워가는 무한의 이야기는 정말 재미있었지만, 완전한 이해는 하지 못했다. 많은 수학 문제와 수학책을 접하고 배워서 이런 개념을 다 깨우치고 싶다. 시적 표현으로 끝이 없다고 자주 사용되는 무한, 그 진정한 의미에 대해 조금 더 알게 된 느낌이다.