* 讀書記錄 160427
<교양인을 위한 수학사 강의> 서평 별점 ; ★★★★, 도서관 대출
p282 그 영향은 심오했다. 군 이론은 대수의 더욱 추상적인 관점으로 이어졌고, 아울러 수학의 더욱 추상적인 관점으로까지 이어졌다. 실용을 중시하는 많은 과학자는 추상으로 쏠리는 이런 움직임에 처음에는 반대했지만, 추상적인 방법이 구체적 방법보다 더욱 위력적일 때가 많음이 분명해지자 반대는 대체로 사라졌다.
수학은 사치일까?
p431 장구한 수학사 내내 수학은 다음 두 가지 원천에서 영감을 얻었다. 즉 현실 세계 그리고 인간의 상상력. 가장 중요한 것은 무얼까? 어느 쪽도 아니다. 중요한 것은 둘의 결합이다.
책의 난이도가 비교적 일정했던 책. 같은 글쓴이의 최근 작 ≪세계를 바꾼 17가지 방정식≫, ≪생명의 수학≫, ≪미로 속의 암소≫는 내용의 난이도가 일정하지 않았다는 느낌을 주었다. 물론 내 관점에서 그렇다는 뜻이고, 내 관점은 우리나라 고등학교까지의 수학 교육을 기반으로 했(을 것으로 추정한)다. 이 책에 군론과 복소해석이 언급되지만 그야말로 교양으로 이해할 수 있게 설명하였다.
* 밑줄 긋기
p100 대수란 일반적인 형태를 다루기 위한 방법인 반면에 산수는 특정한 수를 다루기 위한 방법이라고 설명한다./p101 따라서 비에트 이후부터 대수는 기호 표현을 통해 그 자체의 생명력을 갖게 된 셈이다.
p122 수학을 산수, 대수, 기하 등과 같은 별도의 분야로 나누는 것이 일반적이지만, 이런 구분은 수학의 참 모습이리가보다 단지 인간의 편의에 따른 것이다. 겉보기에는 분명 다른 듯한 분야들일지라도 서로 간의 명확한 경계가 존재하지 않는다. 그러고 어는 한 분야에 속한 듯해 보이는 문제도 다른 분야의 방법으로 풀릴 수도 있다.
p160 수학자들이 나름의 이유로 중요하다고 여긴 대다수 주제들은 실제 세상에서도 소주한 것임이 결국 드러나게 마련이다.
p161 미적분 ; 뉴턴은 자신의 이론을 ‘세계의 체계’라고 불렀다. 그다지 겸손한 이름이라고 보기는 어렵지만, 참으로 적절한 표현이 아닐 수 없다.
p180 가령 라이프니츠는 이 문제가 ‘논리의 정신’에 반대되는 ‘기교의 정신’이라며 슬며시 피해갔다. 하지만 어쨌거나 버클리의 문제 제기는 정말 옳았다. ; 내가 고등학생 시절에도 역시 미심적어 하던 부분인데, 이 문제는 수학적으로 해결되었다. 하지만 선생님의 강의 틀린 내용으로 이뤄졌다. 왜 그랬을까? 문제 풀이를 위해?
p207 겉으로는 보이지 않지만 세심하게 살펴보면 세상의 배후에 무엇이 숨어 있는지를 알게 해주는 대표적인 사례다. ; 이 말에 탐닉하면 약 플라톤-노자주의자가 되고, 중독되면 강 플라톤-노자주의자가 된다.
p218 복소수 z가 0이 아니라면, 함수 log z는 무한히 많은 상이한 값을 가질 수 있다. 수학자들은 여러 상이한 값을 가질 수 있는 함수에 익숙해져 있었다. 가령 제곱근이 가장 대표적이었다.
p223 또한 유수 정리 residue theorem란 것도 있는데, 이 정리는 닫힌 경로 상의 적분이 해당 함수가 무한대가 되는 점들의 위치에 그리고 그 점들 근처에서 보이는 행동에 의존함을 알려주었다.
p237 바이어슈트라스는 ... 그가 내놓은 가장 놀라운 정리 중 하나는, 모든 점에서 연속이면서도 어떤 점에서도 적분 가능하지 않은 실수 변수 x의 함수 f(x)가 존재함을 증명해낸 것이다. ... 앞선 수학자들이라면 결코 그런 함수가 존재한다고 믿지 않았을 것이다. 그와 동시대 수학자들은 그런 함수가 무슨 쓸모가 있을지 의아해했다. ... 그것이 바로 프랙탈이다.
p244 사실, 그의 미술은 대체로 수학을 위한 수단이었다.p245 이는 그가 진정한 수학자의 자세를 지녔음을 잘 보여준다.
p253 제 5공준이 참이라고 믿는 것은 논리보다는 경험의 결과라는 의견이었다.
p255 상상력이 부족한 사람은 이해하지 못할 테며, 전통에 대한 완고한 집착과 무지로 인해 자신의 연구를 비웃을 것이라고 가우스는 여겼다.
p259 우리는 우리 자신이 아주 작은 구석에서 체험한 제한된 경험을 우주 전체에 투사했다. ... 상상력이 풍부하고 비정통적인 몇몇 사상이 상상력이 부족한 다수의 정통적인 사상을 밀어내준 덕분에 이제야 유클리드 기하학의 여러 대안들이 존재하면 물리적 공간의 속성은 사고만이 아니라 관찰의 문제임을 우리는 (적어도 수학자와 물리학자들은) 이해하게 되었다. ; (적어도 수학자와 물리학자들은)이라... 꼬리표를 뗄 수는 없을까?
p259 오늘날 우리는 실체에 대한 수학적 모형과 실체 그 자체를 명확히 구분한다. 이렇게 볼 때, 수학의 많은 내용은 실체와 명백한 관련성을 띠지는 않는다. ; 그런 의미에서 어린이의 (‘창의’라는 수식어를 붙여가며) 수학에서 실체 관련성을 지나치게 강조하는 것은 또 다른 오류다.
p272 이를 가리켜 자연 무리성에 대한 정리 Theorem on Natural Irrationalities라고 한다.
p282 그 영향은 심오했다. 군 이론은 대수의 더욱 추상적인 관점으로 이어졌고, 아울러 수학의 더욱 추상적인 관점으로까지 이어졌다. 실용을 중시하는 많은 과학자는 추상으로 쏠리는 이런 움직임에 처음에는 반대했지만, 추상적인 방법이 구체적 방법보다 더욱 위력적일 때가 많음이 분명해지자 반대는 대체로 사라졌다. 군 이론을 통해 분명히 드러난 또 한 가지는 부정적 결과도 여전히 중요할 수 있다는 것, 그리고 증명을 하려는 줄기찬 노력이 때로는 중요한 발견으로 이어질 수 있다는 것이다.
p301 수학을 더욱 추상적으로 접근하는 관점은 수학의 주제들이 점점 더 다양해지면서 생겨난 자연스러운 결과였다.
p303 추상성이 유용하거나 필요하냐 여부는 더 이상 논의 사안이 아니다. 추상적 방법은 페르마의 마지막 정리와 같은 해묵은 문제들을 해결하면서 자신의 존재 가치를 증명했다.
p304 정성적인 것이 정량적인 것을 이기다.
p305 그렇게나 유연한 변환을 거치는 마당에 도대체 무엇인 불변일 수 있을까? 알고 보면, 불변인 것은 ‘아주 많다.’ 하지만 드러나기 시작한 불변성의 유형은 기하학에서 일찍이 살펴보지 않았던 것들이었다.
p391 무엇이 올바른 공리인가?
p409 수학은 계산 이상의 것이지만, 계산은 더욱 개념적인 연구에 어쩔 수 없이 수반되는 일이다.
p431 장구한 수학사 내내 수학은 다음 두 가지 원천에서 영감을 얻었다. 즉 현실 세계 그리고 인간의 상상력. 가장 중요한 것은 무얼까? 어느 쪽도 아니다. 중요한 것은 둘의 결합이다.
