수학 그리고 03

* 수학 그리고 03

- 음악

수학과 음악의 이야기 중에 빠지지 않은 것이 피타고라스다. 피타고라스는 현의 길이와 음의 높이, 옥타브의 관련을 밝혀냈다. 이 사실은 수학과 음악의 관련성을 나타낸다기보다 수학과 물리학의 관계를 밝은 것으로 보는 것이 합당하다. 그러니까 피타고라스는 음악가라기보다 음향학자다. 12평균율과 화음도 마찬가지다. 라이프니츠는 이런 말을 남겼다고 한다. Music is the pleasure the human mind experiences from counting without being aware that it is counting

나는 수학과 음악에 대해 잘 알지 못하면서도 직관에 의해 관련성이 있다는 느낌을 가지고 있었다. 그러나 책에서 수학과 음악의 직접적인 연관성을 이야기하는 것을 보지 못했다. (여기서부터의 글은 Reference를 확인하지 않고 기억에 의존해 글을 쓰기 때문에 오류가 있을 수 있습니다. 틀린 부분이 있으면 지적해 주세요.) 그러던 중 뇌과학 책을 읽던 중 공통점을 발견했다.

초등학교 (사실 그 이상의 청소년과 어른을 포함해서) 학생의 건강한 생활 습관에 TV를 너무 많이 보지 말라고 하거나 컴퓨터, 인터넷, 전자기기를 이용한 게임을 자제하라고 한다. 그 이유가 무엇일까? (사실 그 이유를 이야기하는 사람을 보지 못했다.) 내가 아는 바에 의하면 두뇌사용에 있다. 컴퓨터 게임은 측두엽만 한정해서 사용한다. 제한된 두뇌사용은 에너지 사용이 적기 때문에 편안하게 느낀다. 여기에 적응이 되면 두뇌 전체를 사용하는 것을 싫어하게 된다. 비유해서 설명하면 건강에 운동이 좋은 것은 알겠는데, 달리기를 하려니 귀찮다. 침대에 누워 양팔을 휘두르는 것을 운동으로 하는 것이다.

몇 부모님이 ‘우리 아이는 스마트 폰, 컴퓨터 게임을 하라고 해도 안 한다’고 이야기하신 분이 있었다. 그럼 뭐하냐고 되물었더니, 책을 읽는다고 답하셨다. 독서는 컴퓨터 게임보다 훨씬 많은 두뇌를 사용한다. 비유해서 설명하면 달리기를 한 것이다. 달리기에 희열을 느낀 사람은 침대에 누워 팔을 휘두르는 것을 운동으로 보지 않는 것과 같다.

어떤 일을 수행할 때, 가장 많은 두뇌를 사용하는 것은 무엇일까? (또 눈치를 채셨나요?) 바로 수학공부이다. 수학은 전뇌前腦에서 시작해서 (거의) 전뇌全腦를 사용한다. (오류를 최소하면 가장 많은 부위의 두뇌를 사용한다.) 많은 사람들이 수학을 두려워하거나 싫어하는 이유는 살을 빼기 위해 달리기를 해야 됨에도, 하지 않은 이유와 같다. 시작이 어렵다. 그러나 희열을 한 번 느끼면 그 희열을 잊기도 힘들다. 그래서 한번 수학 mania가 되면 대개 수학 mania로 남는다. 역사에 남은 천재적인 수학자가 사춘기 이전에 수학적 재능을 보여도 수학에 몰입하지 않는다. 사춘기를 지나면서 수학에 빠지게 된다. 이것도 ‘사춘기를 지나면서 뇌사용 범위가 확대된 상황’으로 설명할 수 있지 않을까 생각한다.

음악에 대해 이야기를 해 보자. (여기서 음악은 주로 클래식 음악을 말한다. 클래식 음악이 락 음악이나 포크송과 어떻게 다른지는 모르겠다.)

인간이 사회생활을 하면서 음악은 선사시대에 주술적이고 원시종합예술의 한 형태였고 이것은 인간 사회를 통한 진화적 압력을 즉 문화-유전 공진화를 통해 음악을 발전시킨 것으로 생각할 수 있다. 그러나 애초에 왜 음악이 발생하였는지 아직 설명하지 못한다. 다시 말하면 진화론에 의거한 자연 환경에 적응의 산물로는 설명이 안 된다. 현재까지의 설명은 (언어기능인지, 사회인지 기능인지 알 수 없지만) 뇌기능 발달에 따른 부수적 작용으로 판단하고 있다.

그런데 음악에 따른 뇌사용을 보면 시작은 측두엽에서 시작하는데, 음악 활동을 할 때, 사용하는 뇌의 범위는 (거의) 전뇌whole brain를 사용한다. 일단 이런 cycle이 형성되면, 음악은 뇌발달을 촉진시키고, 뇌발달은 음악을 선호하게 될 것이다. 이 사실은 아이가 왜 클래식 음악을 듣자마자 좋아하지 않는지를 설명할 수 있다. 아이들은 전뇌whole brain를 사용하는 훈련이 되어 있지 않기 때문이다. 이런 전뇌 뇌사용의 전환은 사춘기에서 시작해서 27세 전후로 완결된다고 한다.

친구의 잡담에 의하면 일반인들이 음악을 감상할 때는 우뇌가 활동한다고 한다. 그러나 (천재적인) 작곡가가 작곡을 할 때는 좌뇌가 활동한다고 한다. (믿거나 말거나)

나의 서재 소개에서 수학은 애인으로 음악은 애인의 이복동생으로 표현되어 있다. 수학은 전뇌forebrain에서 시작하고 음악은 측두엽에서 시작하기 때문에 어머니가 다르다. 그러나 전뇌whoe brain을 사용한다는 점에서 아버지가 같다. (써 놓고 보니 어머니가 다른 것이 아니고 아버지가 다른 자매가 더 어울리나?)

(‘수학과 음악’으로 인터넷 검색을 해 보면 대칭, 비율 등에 관한 이야기들도 있다.)

수학 그리고 02

* 수학 그리고 02

- 음악, 시에 앞서 자녀들의 수학공부

내 서재에 들러 주시는 분들 중 학생 자녀를 둔 분들이 계시니, 아이들의 수학공부에 관한 내 의견을 보탠다. (저는 고등학교 졸업 이후 수학과 무관한 그러니까 수학 선생님이나 학원 수학 강사 아닌, 잘 하지는 못하지만 수학을 좋아만 하는 사람입니다.)

나의 핵심적인 주장은 ‘수학 그리고 01’에서 언급한 아랫글이다.

수학 시험공부에 대한 핵심적인 모순이 드러난다. 수학은 이해과목이라고 강조되지지만, 수학 시험성적은 암기로써 성적을 올릴 수 있다. 성적을 단기간에 올리기 위해 이런 공부 패턴이 굳어져 버리면 수학은 수많은 문제 패턴을 암기해야 하는 과목이 된다.

교육 전문가가 방송에서 말하기를 선행학습과 예습의 차이를 다음과 같이 이야기했다. 예습은 학생이 이전 지식, 즉 토대가 되는 것을 완전히 습득하고 진도를 나가는 것이고 선행학습은 토대가 불확실한 상태에서 진도를 나가는 것이다. 수학공부의 결론은 간단하다. 쉬운 것부터 확실하게 이해하고 숙달하여 토대를 다진 후에 진도를 나가는 것이다.

문제는 부모가 아이에 대해 정확히 파악하지 못하는 것에서 시작한다. 아이가 수학문제를 풀 때, 패턴의 암기를 통한 문제풀이인지 아니면 추론과 이해를 동반한 문제 풀이인지 파악이 안 되는 것이다. 학원의 강사의 경우는 어떨까. 내가 여러 가지 매체에 기고된 글을 볼 때, 학원 강사는 학생들을 비교적 정확히 파악하는 것 같다. 하지만 암기를 통한 문제 풀이에서 추론과 이해를 동반한 문제 풀이로 전환하는 과정에서 학교 성적하락이라는 기회 비용을 지불하게 되는데, 굳이 학원이나 학원 강사는 그 부담을 감당할 이유가 없어 보인다. 어느 강사는 스스로 이렇게 말한다. ‘나는 좋은 선생이 되고 싶기도 하지만, 사실 좋은 강사일 뿐이다’라고.

학생들의 수학공부가 3가지 유형으로 정리된다. 1) 아이가 똑똑하여 토대를 확실하게 다지면서 앞선 공부, 즉 예습을 하는 경우. 2) 아이가 보통의 경우로 앞선 공부는 못하지만, 그 나이에 배워야 할 것을 배우고 있는 것을 다지는 경우. 3) 아이가 현재 배워야 할 것을 다지지 못한 상태에서 앞선 공부 즉 선행학습을 하는 경우. 3) 번의 경우라면 부모로서 두 가지 선택이 가능하다. 3-1) 계속해서 사교육의 선행학습을 통해 수학 공부를 패턴의 암기로 유지하는 것. 3-2) 수학공부를 패턴 암기에서 암기, 추론, 이해, 숙달 등의 조합으로 체제 변경을 하는 경우. 순전히 개인적 경험이지만 고등학생의 경우는 3-2)의 전환이 안 되는 것 같다. 중학생은 가능은 한데, 어렵다. 인생을 공부하는 분야에서 승부를 하겠다는 생각이 있으면 마지막 기회가 된다. 그러나 직업으로써 공무원, 대기업 사원 정도를 생각한다면 지금 하는 대로 하는 것도 괜찮은 전략이라고 생각한다. 전 국민이 수학을 이해해야 할 당위성도 크지 않아 보이고 그렇게 된다고 해도 당장은 그런 국민을 수용하는 사회도 아니다. 물론 사회가 바뀌겠지만. 초등학생은 3-2)의 시도를 권장한다.

이 이야기가 구구단에서 시작했는데, 구구단이 이해의 대상인가? 나는 아니라고 생각한다. 직관의 대상이다. 그러고 나서 암기의 대상이다. 정의, 정리, 공식 등도 암기에 대상이다. 그러나 정의가 된 배경, 이유 그리고 정리 및 공식이 유도된 과정을 알면 암기가 저절로 된다. 다른 사람을 이 상황을 이해라고 이야기하겠지만, 나는 이것을 이해라기보다 스토리텔링으로 부르고 싶다. 프로 바둑기사는 300수가 넘는 바둑판을 암기하는데, 무작위로 돌을 위치시킨 바둑판은 암기하지 못한다.

말은 쉬운데, 행동은 어렵다. 이전 직장의 동료였던 어느 여자 분과 이야기를 나눴다. 나는 내 딸아이에게 초등학교 기간 동안 사교육을 시키지 않겠다고 했다. 그 여자 분이 빙그레 웃으면서 내가 아이를 가르치는 일이 있지 않느냐고 물었다. 당연히 나는 아이가 물어오면 그것에 대해 가르친다고 대답했다. 그 여자 분은 나는 가르치는 것이 안 된다고 했고, 그래서 사교육을 시키는 것이라고 했다. 그리고 사실 많은 부모가 초등학생 자녀를 가르치는 것이 안 되기 때문에 사교육을 시키는 것이라고 했다.

어느 알라디너가 내게 ‘나는 아이의 수학 풀이가 암기에 의한 것인지, (광의의) 이해에 의한 것인지도 모르겠고, 이해 중에서도 추론에 의한 것인지 (협의의) 이해에 의한 것인지도 모르겠다. 학원을 보냈더니, 문제 풀이 패턴의 암기를 가르치더라. 이런 상황에서 어떻게 하란 말인가?’라고 물으면 나 역시 답이 없다. (만약 여러분 중, 이와 같은 경우이면서 자녀가 초등학생이라면, 3번이 아닌 2번을 택하는 것을 고려해 볼 것을 권고한다.)

수학 그리고 01

* 수학 그리고 01

- 음악, 시에 앞서 재미

다락방 님과 수학에 관한 몇 가지를 이야기를 하면서 나는 수학이 음악과 그리고 시詩와 공통적 이미지가 있다고 하였다. 다락방 님은 구체적 설명이 가능하냐고 하셨는데, 막상 구체적으로 설명하려 하니 좀 막막하다. 내가 그렇게 생각하게 된 것은 개인적 경험과 어떤 글을 읽었기 때문이고, 그것을 바탕으로 추론하여 내린 결론이다. 물론 그 결론이 확대 해석이라는 오류일 가능성도 있다. 그 근거reference들이 다 기억나지 않는다. (그러나 나는 쓴다.)

누군가는 소설을 매우 좋아한다. 좋아하니 소설책도 많이 읽는다. 그러나 소설책을 읽는 것이 극단적인 예외는 아니지만 평균이라고 말할 수는 없다. 한국인은 책을 잘 읽지 않는다. 책을 읽는 대신 TV를 보거나 영화관에서 영화를 보거나 컴퓨터, 스마트 폰을 사용하는 것에 많은 시간을 보낸다. 아니면 친구들과 잡담을 하면서 친목을 도모하면서 시간을 보내기도 한다. (물론 소설책을 읽는 사람이 전적으로 책을 읽는 데만 시간을 보낸다는 뜻은 아니다.) 조금 더 보편화시키면, (주로 서재활동을 하는) 알라디너는 책을 많이 읽는다. 왜 한국인 평균에서 벗어나는 독서를 많이 할까? 내가 생각하는 답은 ‘재미’다. 소설을 읽는 것이 재미있기 때문에 소설을 읽는다. 독서가 재미있기 때문에 독서를 한다. 이런 논리는 ‘등산’에도 적용된다. 등산을 좋아하지 않는 사람은 왜 시간 들이고, 돈 들이고, 땀을 흘려 가며 다시 내려와야만 하는 산을 기를 쓰고 오르려 하는지 이해할 수 없다.

내가 하려했던 이야기는 수학이다. 이쯤에서 내가 하려는 이야기에 대해 눈치 채셨을 것이다. 나는 수학을 좋아한다. 내 주위에는 수학을 좋아하는 몇 사람을 있다. 나를 포함한 이들은 왜 수학을 좋아할까? 여러 가지 답이 있지만 역시 가장 중요한 이유는 ‘재미’다.

심리학이나 뇌과학에서 잘 알려진 비유로 ‘코끼리와 기수’가 있다. 수학을 좋아하는 사람이라고 해서 다르지 않다.

수학이 재미있다는 것을 언뜻 실감하지 못하신 분이 계실 것이다. 이에 대한 이해로 독서나 등산의 재미없다고 하는 사람을 연상하면 되나 내 경험으로도 독서나 등산이 재미없다고 하는 사람보다는 수학을 재미없다고 하는 사람이 많다. 그러니까 수학을 재미없어하는 사람이 더 보편적이라는 뜻이다.

다른 비유로 ‘고전 음악’을 들 수 있다. 나는 고전 음악과 전혀 친하지 않았는데, 음악가를 접하면서 음악을 듣기 시작했다. 내가 집에서 고전 음악을 듣고 있으면 아이가 ‘지금까지 아빠의 음악을 들었으니, 이제 내 음악을 들을게’라고 이야기하고 동요로 CD를 바꾼다. 아이에게 고전 음악은 재미없냐고 물으면, 재미없다고 답한다.

<아이들은 왜 수학을 어려워할까?>에도 나와 있지만, 인간은 아직 수학에 적합할 정도로 진화되지 않았다.

* 그만하면 용하다 http://blog.aladin.co.kr/maripkahn/4698213

아이들만 수학을 어려워하나 어른들도 어려워하지. 그 이유는 수학은

p126 (계산을 익히는 과정은 수 감각적) 본능과 거리가 있다.

사람은 특히 한국 사람은 수학공부보다는 무리짓기에 더 적합하게 진화했다.

수학은 직관, 추론, 이해로 구성되어 있고, 수학 시험공부는 암기, 추론, 이해, 숙달로 구성되어 있다(고 생각한다). 수학적 직관을 직접적으로 키우는 방법이 있는지는 모르겠다. 하지만 추론의 연습이나 이해를 증진시키면서 직관도 향상되는 것 같다.

대부분의 수학에 대해 거부감을 갖고 있는 사람과 이야기해 보면 수학 시험에 대한 거부감이다. 잘못된 수학 시험공부를 하면서 잘못된 인식이 심어진 것이다. 수학은 이해의 과목이라고 강조하는 것을 자주 보는데, 암기가 아니면 모두 이해라고 한다. 그러니까 이런 사람이 말하는 이해는 직관, 추론, 이해를 합쳐 놓은 것이다. 추론으로 풀어야 할 문제를 이해로 풀면 문제가 어려워진다.

지금은 고등학생이 된 당시 중학생과의 일화가 떠오른다. 그 중학생에게 수학문제 하나를 풀어보라고 했다. 쉽게 풀었다. 풀이 과정을 설명해 보라고 했다. 아주 훌륭하게 설명했다. 다른 문제를 하나 더 풀어보라고 했다. 그 학생이 문제를 곰곰이 살피더니, 이런 문제는 본 적이 없다고 하며 풀기를 포기한다. 이 학생에게 수학 공부는 수많은 문제 패턴을 경험하고 그것을 암기해서 수학 시험에 적용하는 것이다.

여기서 수학 시험공부에 대한 핵심적인 모순이 드러난다. 수학은 이해과목이라고 강조되지지만, 수학 시험성적은 암기로써 성적을 올릴 수 있다. 성적을 단기간에 올리기 위해 이런 공부 패턴이 굳어져 버리면 수학은 수많은 문제 패턴을 암기해야 하는 과목이 된다. 이제 수학 시험공부의 부정적 감정은 수학에 그대로 투사된다. 사실 중학교 3학년 때 수학 선생님도 같은 말씀을 하셨다. ‘너희들이 수학에 대한 성의가 있다면 (의미는 수학성적을 올리고 싶다면) 암기를 통해서도 가능하다’고.

독서일기 141022

* 讀書日記 141022

<해전의 모든 것> eBook 서평 별점 ; ★★★

<이순신과 임진왜란> 1,2,3,4 권 읽고 임진왜란이 해전이 해전에서 어떤 위치를 차지하나를 알고 싶어 읽게 된 책이다. 사전을 찾아보기도 했지만, 사전 지식에 없는 상태에서 책 내용이 확 와 닿지를 않는다.

읽기 전에 해전술 이외에 한 가지를 더 기대했는데, 그것은 전함의 변화다. 악티움 해전과 임진왜란은 영화를 통해 이미지가 잘 알려져 있다. 그런데 그 다음의 해전은 제2차 세계대전으로 넘어간다.

그마나 그 간격을 메워주는 이미지는 이양선과 로버트 루이스 스티븐슨의 소설 ‘보물섬’, 전함은 아니지만 톰 소여의 모험의 증기선들이다. 이 책에 의하면 크림 전쟁부터 범선은 효용가치가 떨어진다. 철갑선은 1850년 중반부터 등장한다. 철갑함의 전투는 미국 남북 전쟁에서 등장한다. (미국 남북 전쟁의 해전의 모습은 본 적이 있나요?) 수뢰와 잠수함의 등장 등 단편적인 지식만 얻었지만 그런대로 유익했던 책.

이 책을 읽으면서 eBook의 단점을 발견했다. (약간은 황당했다.) 나는 eBook을 주로 PC 뷰어로 읽는데, 이 책은 삽화의 내용을 확인해야 한다. 그런데, PC 뷰어에서도 크레마에서도 그림을 확대해서 삽화의 글씨를 읽을 수 있는 방법을 못 찾았다. (기능이 없는 것인가 내가 못 찾은 것인가?)

영화단평 141021

* 映畵短評 141021

<루시> 평점 ; ★★

헐리우드 영화에 한국어가 대사로 사용된 것이 인상적이었으나 영화로서 감동을 받지 못했다. 마립간 식으로 줄거리를 표현하면 ; ‘루시는 도道에 이르렀다.’

우리가 1차 함수의 선형적인 상관관계를 관찰했을 때, 우리가 경험하지 못한 양극단은 상상할 수밖에 없다. 관찰하지 못한 양극단은 1차 함수의 선형관계를 유지하기도 하고, 지수 함수 관계일 수도 있고, 또는 로그 함수 관계일 수도 있고, 불연속 함수일 수도 있다. (자연계에는 연속함수보다 불연속 함수가 훨씬 더 많다.) 관찰범위 내에서 근사치로 1차 함수처럼 보일 뿐일 수도 있다. 인류의 지식은 지수 함수적으로 증가했다. 하지만 개인의 뇌 능력에서도 그럴까. 나는 개인의 뇌 능력은 로그 함수적으로 증가할 것으로 추정한다.