데일리 수학 세상에 하나 밖에 없는 나만의 수학 일기 (S2-15번째 책리뷰)

데일리 수학 - 세상에 하나밖에 없는 나만의 수학일기
김정현 지음 / 지오북스 / 2020년 1월

데일리 수학 세상에 하나 밖에 없는 나만의 수학 일기는 수학에 관한 책이라기 보다는 저자가 쓴 수필에 더 적당할지도 모르는 책이에요. 책의 대부분은 마치 면접에서 쓸만한 자기소개서 같은 부분이 대부분이에요. 하지만 전체 줄거리는 수학은 인생이라고 말한 대입 면접에서 자신의 한 말과 이것에 대한 것을 이야기하고 있어요. 물론 이와 관련없는 자기소개서 내용도 존재하지만요. 이러한 부분에서 높게 평가해서 이 책에 대한 저의 평가는 수학에 대해서 문학적으로 해석해 본 책이라고 평가할 수 있을 것 같아요. 초판을 읽었는데 책에서는 몇쇄인지는 작성되어 있지 않았어요.

● 수학에 대해서 독특한 접근법이 흥미로웠어요.

수학을 몰라도 살아가는데 문제가 없는 데 수학을 왜 배워요? 라는 주제로 많은 책들이 있어요. 다른 학문과 수학은 어떻게 다른가? 실생활에 수학은 어떻게 실용적으로 쓰이는 가? 등에 대해서 다루는 경우가 많아요.

이 책은 그런 부분에서 약간은 문학적 기법, 은유, 직유, 비유등을 사용해서 수학 수식이나 수학의 정의, 정리등이 인생과 비슷한 지점을 찾아서 서술하는 경우가 많았어요. 물론 이것은 인생의 문제를 수학처럼 바라보고 그 문제를 해결책은 수학의 증명과는 다른 풀이법을 사용하는데, 수학을 대하는 태도처럼 대한다 이런 쪽의 방법이긴 하여요.

수학을 좋아한다면 우리는 공리를 우리가 인생에 맞게 설정하고 정의, 공준도 정한 다음, 실제 생활을 수식이나 수학에 맞게 변형해서 수학의 일반적인 법칙들이 성립하거나 혹은 성립하지 않거나(예를들어 교환법칙등은 때론 새로운 공리상황에서는 적용되지 않으므로)를 확인하고 새로운 다양한 정리를 사용하는 것을 생각할 거에요. 저 역시 주식투자를 이런 방식으로 하고 있으니까요. 그러나 이러한 방식보다는 인생을 수학으로 보고 그것을 문학적으로 수학에 적용해본 뒤, 풀이법은 수학이 아닌 수학을 대하는 태도라는 점이 흥미로웠어요.

● 수학과 교육학에 대해서 흥미로워 하는 분들이 겪는 어려움에 공감되었어요.

대학교 마다 커리큘림이 조금 다를 수 있지만, 아마도 대학교에 들어가서 첫학기에 공대나 수학, 과학을 전공하고 있다면, 미적분학, 공대수학 혹은 미적분학과 해석기하학을 들을 거에요. 공대수학도 미적분학으로 시작할 거에요. 그런데 미적분학은 그냥 고등학교 미적분 복습에 조금 더 내용을 더한 정도로 어렵지는 않아요. 그런데 시작과 함께 ε-δ 논법이 나와요. 공대분은 혹시나 아닐지도 모르지만, 수학을 전공하겠다는 분이 겪는 첫번째 혼란을 경험하면서 지금까지 내가 배운 수학이 진짜 수학이 아니었구나 하는 것을 경험하는 첫번째 사례였긴 했어요. 다른 분도 이렇구나 하는 것을 느꼈네요. 저도 수교과에서 처음 ε-δ 논법을 보면서 혼란스러웠고 내가 수학을 고등학교때까지 제대로 배운 것 맞나? 라고 생각하긴 하였어요. 이런 경험에 대해서 작성되어 있는 것에서 공감되긴 하였네요.

● 책이 전반적으로 자기 소개서에요.

그러나 책은 전반적으로 취직을 위해서 자신이 했던 활동을 작성해 놓은 자기 소개서라는 느낌을 받게 되네요. 너무 지나치게 자신의 과거의 활동에 대한 포트폴리오를 작성한 것이 아닐까? 하는 느낌을 받는 책이에요. 그 부분이 수학과 관련없거나 단순한 특정 프로그램 설명이라는 부분도. 물론 취직시 그런 프로그램을 다룬다는 것은 도움이 되겠지만, 독자들에게는 그다지 흥미롭지는 않았네요.

수학에 대해서 문학의 여러가지 기법을 이용해서 접근하거나 수학과 관련된 전공자들이 겪는 어려움 등을 설명하는 것은 좋았어요. 그러나 자기 소개서 정도의 내용이 너무 많은 부분은 단점이네요. 그러나 ★5개를 안줄 정도의 단점은 아니라고 생각되어요. 취직을 위해서 활동하는 구직자분들에게도 도움이 될 내용이니까요.

그림 내 폰트 출처: 고양체

길 위의 수학자 (S2-12번째 책리뷰)

길 위의 수학자 - 보통 사람들에게 수학을! 복잡한 세상을 푸는 수학적 사고법 ㅣ 보통사람들을 위한 수학 시리즈
릴리언 R. 리버 지음, 휴 그레이 리버 그림, 김소정 옮김 / 궁리 / 2016년 8월

길 위의 수학자는 자유시와 동화 형식으로 삽화가 많이 들어간 책이에요. 책의 내용은 수학자가 세상을 바라보는 방식을 설명하는데 보통 특정 분야의 전문가가 되면 그 분야의 지식을 통해서 세상을 바라보는 안경을 가지고 있을 가능성이 클거에요. 경제학자는 경제학이라는 안경을, 수학자는 수학이라는 안경을 가지고 있지요. 이런 부분에서 어떤 분야의 전문가가 되면 어떤 분야의 전문가가 되더라고 큰 차이 없이 세상을 바라보고 있다는 것을 알 수도 있고, 또한 그 분야의 독특한 안경으로 탁월한 안목을 가지게 되는 부분도 확인할 수 있어요. 이런 부분을 쉽게 동화 형식으로 잘 전달한 책이라는 점에서 저는 독자들이 생소한 내용을 쉽고 흥미롭게 잘 전달함으로 평가하였어요. 저는 1판 13쇄를 읽었습니다.

● 수학으로 세상을 보는 부분을 잘 전달하였어요.

수학으로 세상을 본다는 의미를 잘 전달하였어요. 이러한 부분에서 우리가 흔히 수학에 대한 오해. 너무나 계산적이고 딱딱하며 일반인들이 접근하기 어려운 뭔가 특이한 것을 볼 것 같은 느낌이 아니라, 2+2=4가 아닐수도 있고(우리가 흔히 1+1=3이 되거나 1+1=1이 될수 있다고 문학작가들이 이야기하듯이. 수학에서는 공리, 공준, 정의를 바꾸면 2+2≠4일수 있어요. 이런 부분은 가끔 수능에서도 출제되어요.) 창의적인 부분이 어떻게 수학자들이 가지고 세상을 바라보는지 등에 대해서 동화 형식으로 쉽게 설명하여요.

또한 간단한 수학퀴즈 문제로 시작하는데 난이도는 높지 않지만(책의 특성상 쉽게 수학에 대한 이야기를 하는 책이니까요) 이런 부분에서 수학자들이 세상을 바라보는 방식을 흥미롭게 알 수 있는 다양한 방식들을 동원해서 책이 작성되었어요.

● 수학에 관해서 약간의 지식을 전달하였어요.

우리가 중학교 기하학 수준에서 약간의 수학지식을 작성한 부분이 있어서 수학에 대해서 배울수도 있어요.

● 실용적인 부분이 있지만, 과학을 만능으로 보던 시대적 배경을 고려해야 하여요.

이 책이 나온 시기는 과학적 사고관으로 세상을 바라보던 시기인 1940년대 쓰여진 책이에요. 그래서 그 시대적 배경이 어느정도 포함되어 있지만, 과학적으로 세상을 바라보는 것과 제국주의 전체주의에 대한 반발이 심했던 시기(세계 2차대전과 관련된 시기였으니까요) 였어요. 이러한 시대적 배경이 어느정도 포함되어 있어서 이러한 부분을 어떻게 대처해야 하는지 수학적인 관점에서 언급하기도 하여요. 이러한 부분. 나치의 선동이나 음모론등에 대해서 논리적인 확인이 필요하고 이 부분을 수학으로 확인하는 방법등으로 저자가 강조하긴 하여요. 이러한 부분은 문제가 없어요.

그러나 과학만으로 사회를 바라보는 방식은 아쉽게도 과학만으로 세상을 바라봤을때 많은 부작용이 작동하면서 이 방식은 바뀌었어요. 즉 다양한 학문을 포괄적으로 적용해야 한다는 거에요.

과학으로 세상을 바라보는 이론은 행태론이 대표적인데(인공지능도 행태론 위에 있는 방식이에요. 이쪽은 행동주의자들이니까요.) 이러한 방식은 행정학에 적용되어 실험을 했지만, 기존의 방식과 다른 방식. 예를들어서 반전시위, 인종차별이 만연한 상황에서 인종차별 반대 운동등 과거와 다른 창의적인 부분이 사람들 사이에서 만들어지고 행동하게 될 때 과거를 통한 특정 법칙을 만들어서 그것으로 대응하는 부분은 실패하였어요. 경제학에서도 케인스의 인플레이션과 실업률에 대해서 국가가 대응하는 방식이 과거에 없었던 스태그 플레이션으로 정부 실패를 만들면서 실패한 비슷한 경우도 있어요. 인공지능이 데이터를 수집해서 뭔가 될 것처럼 이야기하지만 실패하는 이유와 같아요. 이러한 부분은 시대적 배경이 과학만으로 세상을 인간이 조절할 수 있다고 믿던 배경이 포함되어 있었다는 것에서 조금 주의해서 봐야 하여요.

단지 이 책은 우리는 사람이며 신이 아니라는 말로서 이러한 부분을 그 시대에 맞지 않게 경고한 부분이 있어요.

전반적으로 동화책이지만 그 이면에 숨어 있는 내용은 가볍지 않은, 이상한 나라의 앨리스나 어린왕자 같은 컨셉으로 작성된 책이에요. 전반적으로 책은 쉽게 읽히는 책이지만 읽고 나면 책속에 숨어 있는 내용들에 대해서 다시 한번 고민하게 만드는 그런 유형의 책이라고 생각되네요. 단지 위에 말한 동화책들 보다는 조금 더 직설적으로 작성되어 있어요^^.

그림 내 폰트 출처: 고양체

수학 겉핥기 (S2-3번째 책리뷰)

수학 겉핥기 - 어려운 수학을 맛있게 즐겨보는
김일희(12math) 지음 / 종이향기(인성재단) / 2024년 6월

수학 겉핥기는 수학 수필책과 유사한 구조를 가져요. 수학수필책은 제가 만들어서 사용하는 단어이긴 하지만, 수학수필에 속하는 책들의 일반적인 경향은 수학을 배울수도 없지만, 수학의 역사나 수학이 현실에서 쓰이는 것을 소개하는 유형의 책이에요. 수학 겉핥기는 이런 구조에서 최대한 많이 수학의 증명을 소개함으로써 수학도 배울 수 있는 유형으로 쓰여졌고, 특히 수학을 배울때 드는 여러가지 생각들을 많이 작성하였는데, 전체적인 수학의 구조보다는 특정 분야(수학도 여러 분야가 있어요)를 배울때 특정 정리등에 대해서 여러가지 저자의 의견을 소개하고 그 부분을 증명하는 부분으로 쓰여져 있어요. 이 책의 저의 평가는 책에 진심이지 않네요. 라고 평가하고 싶어요.

● 수학에 대한 자신의 독자적인 의견을 제시하면서 수학을 배울 수 있어요.

이 책의 장점인 부분이에요. 앞서 말했듯이 이 책은 특정 정리나 수학의 세부적인 부분에서 저자가 수학을 배우면서 느낀 여러가지 생각을 전달하는데, 이 부분은 수학의 전반적인 부분이 아니라 특정 정리(우리가 학교 다닐때 배우는 공식이라고 수학전공자가 아니면 생각하시면 되어요)에 대한 부분의 의견을 제시하여요. 좀 세부적인 부분이지요. 그리고 이러한 부분에서 정리가 어떻게 만들어졌는지 증명을 소개함으로써 수학을 배울 수도 있어요.

이 부분에서 이 책은 다른 책에서 흔히 전달하는 문장들과는 다른 관점으로 접근할때가 많은데 최대한 같은 정리라도 다른 책과 다르게 작성하려고 노력한 흔적은 보여요. 수학의 정리는 수학의 언어로는 국적이나 언어가 달라도 다 똑같이 작성하겠지만, 이러한 부분을 일상의 언어로 바꾸면 좀 다르게, 다양하게 표현할 수 있는데 이런 부분에서 다른 책과 겹치지 않으려 노력하였어요. 단, 이러한 부분에서 이 책의 내용이 다른 책보다 더 쉽다고는 할 수 없어요. 더 쉬울때도 있고 더 어렵게 설명할때도 있었어요.

● 책의 독자층을 설정하지 않았어요.

책의 처음에는 초등학생, 중학생 정도가 볼 정도의 내용이에요. 그러다가 고등학생들이 배우는 과정을 넘어서 대학교 과정을 말하는데, 이후에는 고등학교/대학교 과정을 수시로 왔다갔다 하면서 작성되어 있어요.

대부분의 수학전공자 빼고는 교양으로 수학을 잘 선택하지 않을 것이므로 대부분 대학교에서는 수학을 배우지 않을 거에요. 대부분이 고등학교 과정의 수학에서 머물게 되겠지요. 그런데 이 책은 대학교 과정에 있는 내용을 전혀 어떤 내용인지 설명하지 않고, 그대로 사용하는 경우가 종종 있어요. 대표적으로 mod 같은 경우인데 이것은 교양으로 수학을 선택한 사람들도 배우지 못했을 거에요. 이런 것은 고등학교때 배우지 않으므로 만약 수학전공자가 아니면 모르지만 책에서 전혀 설명해주지 않고 사용하므로 이 책에서 어떤 독자들이 보라고 만들었는지 모르겠어요.

만약 수학 수필책이고, 수학을 배울 수 없는 경우에는 이런 부분이 완화되겠지만, 물론 그런 경우에 원리에 대해서 최대한 쉽게 일상어로 전달하는 문제가 존재하지만, 이와 같이 수학을 알려준다면 독자의 수준을 미리 생각하고 그 수준에 맞추는 것이 필요하여요. 그러나 그 수준이 너무 많이 챕터마다 달라져서, 그 독자층이 수학전공자가 아니면 대부분 모르며(독학자들도 있으니까 모두는 아니에요) 증명을 이해할 수 없는 내용도 많았을 것이라 생각되네요. mod를 사용할때 독자층을 수학전공자로 잡지 않았다면 mod가 무엇인지 먼저 설명해주는 다른 책과 비슷한 구성이 되었어야 한다고 보이네요. 이 책은 초반에 초등학생에게 맞는 내용이 나오므로 독자층이 수학전공자는 아닐 거에요.

어떤 독자층이 책을 읽게 만들지부터 먼저 설정하면 더 좋은 책이 나올 것 같아요.

● 빨리 계산하는 것과 원리이해. 무엇이 중요할까요?

책이 가끔씩 논점이 이상할때가 있어요^^. 예를 들어서 1장의 내용인데, 범용성과 특수성의 방식들을 소개하는데, 특수성을 이용해서 계산을 빨리 하는 방법. 이것은 인도의 베다 수학에서 이러한 부분을 많이 제시하긴 하여요^^. 그러나 범용성이 떨어지는 문제가 있고 이것은 이 저자도 이야기하였어요.

그런데 베다 수학도 수학의 한 부분이므로 이것이 왜 성립하는지 수학으로 설명할 수 있고 증명할 수 있어요. 이것은 저자도 자신이 제시한 특수한 경우에 빨리 계산하는 방법에서 증명해 주었어요.

그러나 저자의 관점은 계속 빨리 계산한다에 머물러 있어요. 연습문제에서 몇초에 풀었는지 책에 적게 만들었어요. 그런데 수학을 좋아하는 사람들에게는 몇초에 암산으로 풀었냐? 가 중요한 것이 아니라 우리가 머리속에서 생각해서 올바른 연산을 하는 다른 방법에 대해서도 수학으로 증명할 수 있고, 수학의 언어로 표현할 수 있다는 것이 더 중요하다고 생각하는데, 책의 논점은 속도에 머물러 있는 것이 조금 이상하다고 느껴지긴 하였어요.

이런 것처럼 이 책의 저자의 의견에 모두 동의하기 힘든 부분이 책에 있었어요.

● 과도한 신기술 낙관주의

이것은 행동주의자들의 영향때문일지도 모르겠어요. 그리고 수학이 인공지능에 쓰이기 때문에 수학에 대한 흥미를 끌기 위해서 알면서도 언급안하는 부분. 혹은 이런 부분이 자신의 수입을 더 얻기 위해서 말하지 않는 부분이 있을지도 모르겠어요.

하지만 과도한 신기술 낙관주의를 보이고 있으며, 그런 부분에서 수학이 쓰인 부분을 언급했지만, 그 자체의 문제에 대해서는 전혀 언급하지 못한 부분이 있다고 보이네요. 인공지능 개발자들이 설정한 공리와 정의부터 잘못되었으며 그래서 정리가 올바르지 않다는 것. 그리고 특정 정리가 잘못될 수 이 밖에 없는 이유에 대해서 언급하지 못했어요. 오히려 감추었을수도 있고요.

신기술이라고 무조건 좋거나 무조건 나쁘다가 아니라 그것의 장단점을 같이 서술하고 자신의 의견을 제시했다면 더 좋지 않았을까? 생각되네요.

● 저자의 SNS와 부가 수입을 위한 홍보물

이 책에서 가장 아쉬운 점은 이 책의 저자가 책에 진심이지 않네요.

이 책에서 각장은 자신이 만든 영상으로 갈수 있는 QR코드가 붙어 있어요. 모바일로 영상을 보지 않는 저로서는...모바일의 작은 액정이 시력을 많이 나쁘게 만들더라고요. 그래서 모바일로 작업은 최대한 않하고 있는데, 웹사이트 주소가 없는 점도 아쉬웠어요.

그리고 이러한 부분에서 이 분의 SNS에 도착했을때 수학에 관한 유료 강의를 신청하라는 부분도 많이 아쉬웠네요.

이 저자가 수학으로 다른 분야에서 버는 돈이 그다지 만족스럽지 않았나봐요. 그래서 이러한 책이나 SNS를 통해서 부가 수입을 원하는 것은 이해하는데, 그렇다고 책을 자신의 강의나 SNS 소개를 위한 도구로 사용하는 것은 책을 읽는 독자들에게는 그다지 좋지는 않을 것 같아요. 책에 대해서 좀 더 진심으로 책을 쓰시면 독자들도 더 좋아하지 않을까? 싶네요.

즉, 자신의 SNS와 강의 홍보물이 아니라 책에서 모든 것을 보고 알 수 있도록 구성했다면 독자들이 더 좋아했을 거에요^^. 여기에서 책에 진심이라는 부분에서 책의 인세 수익을 말하는 것은 아니라, 다른 수익을 위해서 책을 홍보물로 만들어 도구로 사용한 것을 말하는 거에요^^.

그림 내 폰트 출처: 고양체

수학의 노벨상 필즈상 이야기 (351번째 책리뷰)

수학의 노벨상, 필즈상 이야기 - 이 시대의 천재 수학자들은 왜 난제에 도전했을까? ㅣ 살림청소년 융합형 수학 과학 총서 24
김원기 지음 / 살림Math / 2010년 8월

[책을 읽은 동기 / 읽은 후 느낌] 책 이름을 보고 이 책이 수학 수필책이라는 것을 느낄 수 있었어요. 제가 특별한 학문 이름 뒤에 수필이라고 이름 붙이는 책들은 공식적으로 그렇게 분류하는 것은 아니고 제가 그렇게 부르고 있는 책들이에요^^.

이런 책들의 특징은 그 학문을 배울 수는 없어요. 하지만 그 학문의 역사나 현실의 이슈들을 설명한 뒤 그 학문이 어떻게 쓰여졌는지 대략적으로 설명하고 저자의 결론을 짧게 작성하는 책들을 의미합니다.

그 학문의 흥미를 가지게 만들수는 있는데, 그 학문을 배울 수는 없어요^^.

이 책은 필즈상이라는 수학에서 가장 권위있는 상의 역사에서 부터 시작해서 필즈상 연구에 대해서 대략적으로 설명하는 것으로 수학에 대해서 흥미를 가지게 만들어주는 책이에요^^.

근데, 아마추어 수학자들이 이제 필즈상 같이 권위있는 상을 받을 확률은 거의 없다고 보시면 되어요. 이유는 수학자들은 슈퍼 컴퓨터나 아직 상용화되지 않은 양자 컴퓨터를 이용해서 계산을 대신하는데, 아마추어 수학자들이 이런 것을 사용할 수 없기 때문이지요.

또한 수학이론들이 실제로 현실에서 과학등에서 쓰이기까지 약100년 정도 시간차이가 존재하기 때문에, 최신 수학이론들에 대해서 일반인들의 관심을 가지게 만들 수 있는 것도 그리 많지 않은 것도 사실이에요^^. 하지만 수학을 좋아한다면 이런 상들이 어떤 연구에 주었는지 관심이 있겠지요^^.

그래서 이 책은 다른 수학 수필책에서 잘 다루지 않는 영역을 다루었다고 느낌이 들어요^^.

[책의 특징 / 장점] 제가 구분하는 이 책의 내용은 '필즈상의 배경 및 기본정보 - 필즈상 수상자들의 생애와 업적 - 현대수학흐름'으로 구성되어 있다고 보고 있어요.

이 책은 필즈상을 받은 시간순으로 학자들의 생애를 소개하고 그 학자의 연구에 대해서 설명하고 있어요. 이 과정에서 수학을 배울 수 없고 대략적인 연구내용을 설명하여요.

책의 장점은 다음과 같습니다.

① 수학에서 상의 의미를 설명합니다.

순수해야 할 수학에 상을 주며 경쟁한다는 부분에 대해서 수학자들은 반대로 회의적이라는 것을 설명합니다.(p27) 책에서는 뒤에 추가로 설명하지만 이런 상에 수학자들이 부정적이게 된 역사적인 사실도 있고 다양한 이유로 반대하는 경우도 많다는 것을 알려주어요^^. 수학자들은 뭔가 좀 특이하다는 생각을 가질지도 모르겠어요. 노벨상에 수학상이 없는 것에 대해서 수학자들은 별 의미를 안두고 있을지도 몰라요.

② 수학자에 관한 흥미로운 이야기를 많이 알려주어요.

"카타스토리피란 이름 그대로 급격한 변화를 기술하는 새로운 관점을 제시했지만, 정작 과학적 이론으로서 갖추어야 할 정량적 예측을 할 수 없는 이론이었던 것이다. 그는 결국 다른 수학자들의 비판적인 연구를 통해 자신의 종말은 수학자로서의 실패를 뜻할 수 있을지도 모른다. 하지만 대수적 위상학이나 미분기하학에서 남긴 그의 업적은 폄하되거나, 철학적이며 자유로운 사상가였던 톤의 영향력이 무의미해지는 것은 아니었다. 그는 이렇게 말했다. 누군가 계산을 하고 있다면 다른 누군가는 꿈을 꾸어도 좋지 않겠는가?" P106

필즈상을 받은 수학자들의 뒷이야기에 대해서 흥미로운 부분을 책에서 많이 알려줍니다. 책의 장점을 잘 설명하기 위해서 명언이 섞여 있는 이 이야기를 인용하기로 결정하였습니다.

③ 수학에서 안되는 건 안되는 거에요. 안되는 것도 증명하거든요. 노력으로 이루어지는 것도 있지만 아무리 노력해도 안되는 것도 있어요.

"튜링에 따르면 결정 문제란 언제 이 튜링 기계가 작동을 멈출 수 있는지 알 수 있는 방법이 있는가? 라는 정지 문제로(일반화시켜) 바꿀 수 있고, 알론소 처치와 마찬가지로 튜링 역시 그러한 방법은 존재하지 않는다는 결론을 내렸다. 이것은 다시 말하자면 알고리즘이 존재하지 않는다는 것은 무엇인가? 에 대한 기준을 정의한 것이기도 하다" P133

간혹 수학에서 안된다고 증명된 것에 대해서 노력하면 될 수 있다고 주장하는 분들도 계신데, 수학에서 안된다고 증명된 것은 노력한다고 될 수 있는 문제가 아니에요^^. 위의 문제는 AI가 안되는 이유로서도 제시되는 문제이고, 이를 발전시켜서 AI가 자가 수리가 불가능한 문제가 존재한다는 결론으로 증명도 이루어진 것으로 알고 있어요. 또한 어떠한 법칙성이 없는 랜덤이라면 인공지능이 해결할 수 있는 방법은 없어요. 저는 이러한 문제를 자연과학도들이 자신들의 실험 연구 방법으로 모든 문제를 해결할 수 있다고 착각하는 오만이라고 표현하지만요^^. 마지막에 알고리즘이 없다는 것은 무엇인가? 에 대한 제 생각이에요^^. 저는 수학에 부정적이지 않고 수학교육과 다녔으며 수학을 좋아해요. 하지만 안되는 건 안되는 것이며 오만을 부린다고 노력을 열심히 한다고 안되는 게 되는 것은 아니에요.

[책의 단점] 수학 수필에서는 수학에 흥미를 가지게 해주는 것이 목표에요.

① 수학을 배울수는 없습니다.

수학 수필책의 단점은 수학을 배울 수는 없습니다. 물론 약간의 쉬운 증명을 책에 넣는 경우도 있지만, 이 책은 소재가 필즈상 수상자이므로 증명을 넣기는 어려웠을 거에요^^.

이러한 부분에서 우리는 수학에 흥미를 가질 수 있는 소재로서 자신에게 맞는 책을 선정해야 하고 이번 책은 필즈상 수상자들의 생애와 업적이라는 부분이 소재라는 것에 초점을 맞추면 될거에요^^.

[책을 읽으며 더 생각해볼 문제] 이 책의 더 생각해볼 문제는 AI와도 관련이 있는데, 기계가 인간보다 계산만 더 빠르다라는 의미에 대해서 생각해볼 문제로 제시할 거에요. 지금 AI가 지능을 만든 것일까? 에 대해서도 생각해 보아야 하니까요.

"실용적으로 중요한 것은 컴퓨터를 이용해 어떤 작업을 수행하기 위해 수학적 계산법들을 개발해왔다는 것이다. 에를들어 우리가 흔히 쓰는 포토샵만 하더라도 주어진 과제(예를 들어 윤곽 그리기등)을 수행하기 위해서는 복잡한 계산을 해야 한다." P223

수학이라는 것이 매력적인 학문이긴 하여요. 여러분이 컴퓨터로 하는 대부분의 작업은 0과 1로 이루어진 기계어로 이루어진 연산 결과에요. 컴퓨터가 계산기라는 의미입니다. 계산만 해서 여러분들은 게임도 하고 인터넷도 하고 멀티미디어 기능을 즐기고 있어요. 이것이 계산이라는 것을 잊은 분들도 많이 계시겠지만요. 컴퓨터에서 이루어지는 음악도, 미술도, 게임도 모두 연산 결과일 뿐이지요. 컴퓨터가 계산능력이 사람보다 더 빠르기 때문이고 이걸 이용하는 거에요.

저도 게임이 수학이라는 것에 흥미를 가지고, 즉, 인간의 재미라는 감정도 수학으로 만들 수 있다는 것에 흥미를 가지고 게임개발자가 되어 보려고 했을 때가 있긴 했지만요^^. 요즘은 주식을 할 때 비슷하게 적용하고 있어요^^.

계산만 빠르다는 것이 여러분이 생각하는 것보다 훨씬 많은 일을 할 수 있다는 거에요. 그런데 이것은 수학의 근본적인 공리 - 정리 체계와는 완전히 다르며 단순히 계산만 빠른 것이지요. 근데 계산도 수학에 들어있긴 하니까요.

그럼 이 계산만 빠른 능력을 활용하면 어디까지 가능할까요? 그리고 그렇게 만들어진 것을 지능이라고 부를 수 있을까요? 즉, AI를 지능이라고 부를 수 있을까요? 게다가 그 한계에 도달하면 전혀 발전하지 못할 AI 산업에 대해서 기대할 할 만 한건가요? 같은 생각이에요.

지금 AI산업은 지능을 만든 것이 아니라, 수학을 좋아하는 사람들이 볼때는, "이제 컴퓨터의 계산능력이 인간보다 빠른 장점을 조금 제대로 사용하고 있네~!" 정도거든요. 이게 현실이에요.

단지 과거에 사람이 선택해주는 과정을 스킵하고 그냥 컴퓨터가 적당히 어떤 과정을 선택해서 예전에 하던 계산 과정을 그냥 수행하는 거에요. 그걸 AI 라고 부르고 있는 것이고요. 그리고 대부분의 결과는 매우 낮은 결과값을 가지는데 이러한 원인중에 하나는 사람의 선택을 스킵해버려서 원하는 작업이 무엇인지 알수 없다는 것이 그 첫번째이고, 두번째는 작업과정의 수학 연산이 잘못되었기 때문에 올바른 값이 안나오는 거에요.

[종합평가] 이 책은 수학 수필의 일반적인 형식을 갖춘 책이에요. 이런 책은 수학을 배우겠다기 보다는 수학에 대해서 흥미를 가지게 만들어준다고 보시면 됩니다. 여러분들이 수학 수필을 선택할때는 여러분이 흥미를 가지고 있는 부분을 소개하는 수학 수필인지를 살펴보면 되어요. 여기서는 수학에 대해 가장 권위있는 필즈상을 중심으로 수상자의 주요 연구와 생애를 소개하고 있고 이런 부분의 관심이 있다면 좋은 책일 거에요. 그런데 사람들마다 좋아하는 거은 모두 다르므로 이런 선호에 대한 판단은 제가 하기 힘들겠지요^^.

책 평점 - ★★★ (3/5) 필즈상 수상자들의 연구와 생애를 중심으로 하는 수학수필책입니다.

책 평점 평균 - 3.06

책 평점 표준편차 - 1.08

책 평점별 권수 (디자인출처: Gap Charts V2)

★★★ ~ ★★★★★: 추천 책. ★ 4개 부터는 더 좋은 책을 의미합니다.

★★: 시간이 남는다면 볼만 한 책. 책에 일부 문제가 있는 내용이 있을 수 있습니다.

★: 비추천 책. 책에 심각한 문제가 있거나, 지식과 지혜를 얻을 수 없는 책을 의미합니다.

그림 내 폰트 출처: 고양체

카타스토리피란 이름 그대로 급격한 변화를 기술하는 새로운 관점을 제시했지만, 정작 과학적 이론으로서 갖추어야 할 정량적 예측을 할 수 없는 이론이었던 것이다. 그는 결국 다른 수학자들의 비판적인 연구를 통해 자신의 종말은 수학자로서의 실패를 뜻할 수 있을지도 모른다. 하지만 대수적 위상학이나 미분기하학에서 남긴 그의 업적은 폄하되거나, 철학적이며 자유로운 사상가였던 톤의 영향력이 무의미해지는 것은 아니었다. 그는 이렇게 말했다. 누군가 계산을 하고 있다면 다른 누군가는 꿈을 꾸어도 좋지 않겠는가? - P106

튜링에 따르면 결정 문제란 언제 이 튜링 기계가 작동을 멈출 수 있는지 알 수 있는 방법이 있는가? 라는 정지 문제로(일반화시켜) 바꿀 수 있고, 알론소 처치와 마찬가지로 튜링 역시 그러한 방법은 존재하지 않는다는 결론을 내렸다. 이것은 다시 말하자면 알고리즘이 존재하지 않는다는 것은 무엇인가? 에 대한 기준을 정의한 것이기도 하다 - P133

실용적으로 중요한 것은 컴퓨터를 이용해 어떤 작업을 수행하기 위해 수학적 계산법들을 개발해왔다는 것이다. 에를들어 우리가 흔히 쓰는 포토샵만 하더라도 주어진 과제(예를 들어 윤곽 그리기등)을 수행하기 위해서는 복잡한 계산을 해야 한다. - P223

마틴 가드너가 들려주는 샘 로이드 수학 퍼즐 (345번째 책리뷰)

샘 로이드 수학 퍼즐 - 마틴 가드너가 들려주는 ㅣ 샘 로이드 수학 퍼즐 시리즈
샘 로이드 지음, 마틴 가드너 엮음, 김옥진 옮김, 오혜정 감수 / 보누스 / 2011년 9월

[책을 읽은 동기 / 읽은 후 느낌] 수학책이지만 수학문제를 풀이하는 심심풀이용 퍼즐 책은 수학책을 읽으면서도 독특한 재미를 주는 책이기도 합니다. 수학을 좋아하는 사람들, 그리고 수학을 그렇게 좋아하지 않더라도 퀴즈/퍼즐을 좋아한다면 이 책을 즐겁게 읽을 수 있을 거에요^^. 퀴즈/퍼즐이 겉으로는 수학과 관련이 없다고 생각되어도 들어가보면 수학과 관련이 있을때가 많거든요^^.

비슷한 책으로는 숨은그림찾기, 십자말 풀이, 수도쿠 같은 책이 될 거에요^^.

이런 책 중에서 수학 퍼즐 책의 경우에는 자주 등장하는 답틀림, 해설없음, 문제출제 오류 등 몇가지 추가적인 문제가 종종 등장하는데, 이 책은 그런 문제가 없어서 좋았어요. 단지~! 우리가 학교에서 푸는 수학 문제들은 우리가 계산에서 편하도록 문제가 만들어진 경우가 많은데 그런 친절함이 없다는 점과 미국과 영국의 도량형이 한국과 달라서 계산이 소수점 포함해서 꽤 귀찮은 점은 있었어요.

[책의 특징 / 장점] 책은 문제부분과 해답 부분으로 나눠어져 있어요. 그래서 특별히 내용 구분을 할 필요는 없는 것 같아요.

이 책의 특징은 해답 부분은 매우 충실하고 우리가 수학시간에 푸는 문제와 같은 문제가 등장하는데 다른 해법을 제시하고 있는 문제도 있었어요. 문제를 직접 해결하고 나서 더 좋은 방법이 있는지 확인하는 과정까지 충분히 해 볼 수 있는 특징이 있어요.

책의 장점은 다음과 같습니다..

① 그림을 이용한 퍼즐을 위해서 그림을 따로 인쇄해 두었어요.

그림을 조각내서 다시 붙이는 문제등이 몇문제 등장하는데 이럴 경우 문제를 찢어서 풀어볼수는 없잖아요^^. 이를 위해서 따로 그림을 인쇄한 페이지를 넣어두어서 책을 최소한으로 훼손하고 문제를 즐길 수 있게 해두었습니다. (P281)

② 수학에 충실한 문제들이 많아요.

수학을 약간 비틀어서 낸 문제도 많지만, 수학사에 중요한 부분을 기발한 생각으로 만든 문제도 많았습니다. 너무 어렵지는 않으므로 걱정할 필요는 없어요.

③ 문제의 답을 하나가 되도록 만들려고 노력하였어요.

"나는 문제의 기본 줄기는 유지하면서도 답이 여러개 나오지 않게끔 문제를 내고자한다." P189

수학 퍼즐 책을 풀다보면 답이 여러개인 경우도 꽤 자주 보게 되는데, 이 책은 그런 문제들은 최대/최소 문제로 바꾸어서 하나의 답만 나오도록 많이 만들어져 있어요. 혹은 여러개라도 그리 크게 문제 되지 않는 문제(예:한붓 그리기. 시작점과 끝점만 중요하니까요)들도 있지만요.

③ 문제는 서술형이며 이때 좋은 격언이나 과거의 역사가 포함되어 있어요.

"뭘 모르는 사람. 그리고 자신이 모른다는 것도 모르는 사람은 성가신 존재이다라는 페르시아 속담이 떠오른다." P170

문제는 서술형이거나 바로 직접적으로 문제를 내는 유형 어느쪽도 나쁘다고 할 수는 없어요. 사람들의 취향은 다양하니까요. 그러나 서술형 문제에서 단지 문제를 내는 것이 초점만 맞춘 것이 아니라 교훈적인 격언이거나 과거 역사의 내용등을 넣어서 만든 문제들이 많아요.

④ 수학 퍼즐 역사에 흥미로운 부분도 설명되어 있어요.

"1926년 5월 스트랜드the strand지에 실린 인터뷰에서 로이드는 최고의 답을 찾아내는 독자에게 현금을 상으로 주겠다고 했으며, 자기가 독자들이 낸 답보다 뛰어난 답을 알아내어 상금을 주지 않게 되길 간절히 바랬다. (중략) 이것을 506번으로 줄였다. 이것은 효과가 있었고, 로이드는 수천 달러가 나갈 뻔했던 것을 듀드니가 막아주었다고 늘 이야기한다." P274

수학퍼즐 계에서도 유명한 작가들이 있고, 이들의 뒷이야기도 책에 들어가 있어요^^.

⑤ 답이 매우 충실하게 잘 되어 있어요.

답지는 엉망인 수학퍼즐책들이 많은데, 답지가 매우 잘 되어 있어서 문제를 풀고 나서 자신의 생각주에 잘못된 점을 바로 잡을 수 있어요.

[책의 단점] 이 책은 미국과 영국의 수학 퍼즐 작가들이 만든 문제가 나오는데, 그래서 각종 도량형의 단위가 우리가 쓰는 단위가 아니에요^^. 이 점이 의외의 문제를 일으켰어요.

① 우리나라에서 쓰이는 도량형 단위가 아니에요^^.

일부 문제는 크기, 길이, 무게 등이 문제의 제한요소가 되어서 풀어야 되는 문제들이 있는데, 이런 부분에서 한국에서 잘 쓰이지 않는 도량형으로 문제가 나와요. 그런데 이런 부분에서 책에서는 비율을 공개하지만, 이것은 소수점을 포함해서 계산이 귀찮아지는 문제가 있기도 하지요. 이런 부분은 문제를 풀이하는데 꽤 귀찮은 요소로 작동할 수도 있어요.

[종합 평가] 수학 퍼즐 책으로서 기존의 수학 퍼즐 책이 답이 여러개, 설명 부족, 문제의 중의성 있는 표현등의 문제가 없어서 좋았어요. 답이 여러개인 문제는 꽤 곤란한 부분이 있고, 설명 부족은 내가 제대로 풀었는지에 대해서 확인을 못하면 그 문제를 풀어도 의미가 없으니까요. 대신 의외의 문제. 즉 미국과 영국의 수학 퍼즐이다 보니 우리나라에서 자주 사용하는 도량형과 다른 부분이 꽤 곤란하게 작동하기는 합니다. 그러나 그런 작은 부분을 빼면 참신한 문제들이 많고, 수학과 직접적인 관련이 있는 문제들, 트릭이 너무 과도해서 어색한 문제가 없는 등 수학 퍼즐 책의 기본을 잘 지킨 책이라고 생각되어요.

책 평점 - ★★★★ (4/5) 해답지까지 잘 만든 수학 퍼즐 책

책 평점 평균 - 3.06

책 평점 표준편차 - 1.08

책 평점별 권수 (디자인출처: Gap Charts V2)

★★★ ~ ★★★★★: 추천 책. ★ 4개 부터는 더 좋은 책을 의미합니다.

★★: 시간이 남는다면 볼만 한 책. 책에 일부 문제가 있는 내용이 있을 수 있습니다.

★: 비추천 책. 책에 심각한 문제가 있거나, 지식과 지혜를 얻을 수 없는 책을 의미합니다.

그림 내 폰트 출처: 고양체

나는 문제의 기본 줄기는 유지하면서도 답이 여러개 나오지 않게끔 문제를 내고자한다. - P189

뭘 모르는 사람. 그리고 자신이 모른다는 것도 모르는 사람은 성가신 존재이다라는 페르시아 속담이 떠오른다. - P170

1926년 5월 스트랜드the strand지에 실린 인터뷰에서 로이드는 최고의 답을 찾아내는 독자에게 현금을 상으로 주겠다고 했으며, 자기가 독자들이 낸 답보다 뛰어난 답을 알아내어 상금을 주지 않게 되길 간절히 바랬다. (중략) 이것을 506번으로 줄였다. 이것은 효과가 있었고, 로이드는 수천 달러가 나갈 뻔했던 것을 듀드니가 막아주었다고 늘 이야기한다. - P274