어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까?

어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까?
김용주 지음 / 지식과감성# / 2018년 10월

<어떻게 하면 수학을 잘할 수 있을까?>는 학생을 위한 수학 공부에 관한 책입니다.

수능을 준비하는 학생들에게 꼭 필요한 수학책이라고 할 수 있습니다.

저자는 30년 가까이 고등학교 수학교사로 근무했으며 명퇴 후 지금은 수학 공부와 진학 상담소를 운영하고 있다고 합니다.

현장에서 직접 학생들을 가르쳐 본 선생님이기 때문에 그 누구보다도 수학을 못하는 학생들의 문제점을 잘 파악하고 있습니다.

우선 '수학 공부에는 왕도가 없다'라는 말에 대해서 반박합니다.

바로 이 책이 그 증거입니다. 수학의 왕도는 있다, 즉 수학을 좀더 효율적으로 공부하는 방법이 있다는 것입니다.

책의 구성은 총 6장으로 되어 있습니다.

제1장 왜 수학을 못할까요?

수학을 못 하는 이유, 그 원인을 분석합니다. 문제집을 풀다가 막혀서 정답을 보고 이해한 경우 다시 풀 수가 있다고 착각합니다. 수학 문제는 한번 풀어 본 문제라고 해서 반드시 다음번에 다시 풀 수 있다는 보장이 없습니다. 그래서 수학 공부는 복습이 매우 중요합니다. 반드시 10번 이상 반복 학습하여 그 풀이 방법을 이해하고 머릿속에 암기해 두어야 합니다. 또한 수학은 암기 과목입니다. 수학을 잘하기 위해서는 공식뿐만 아니라 문제 유형과 풀이의 방법도 암기해야 합니다. 암기하지 않고 수학을 잘할 수 있는 방법은 없습니다. 다만 어떻게 효율적으로 암기하여 기억에 오래 남기느냐가 관건입니다.

제2장 수학이란 무엇이며, 학생 입장에서 수학이 왜 중요할까요? 

저자는 학생들에게 수학 공부의 중요성을 아주 현실적인 세 가지 이유를 들어 설명합니다.

좋은 대학에 진학하기 위해서, 대학에서 이공계나 자연과학 그리고 경영학 경제학을 전공하려면 수학의 기초가 필요하기 때문에, 두뇌를 개발하고 활성화시키는 가장 효과적인 도구가 수학이라서.

스스로 수학 공부의 중요성을 납득해야 수학을 잘 할 수 있는 강력한 동기 유발이 됩니다.

제3장 수학 공부는 어떻게 해야 할까요?

아마도 이 부분이 가장 중요할 것입니다. 각자 자신의 수준에 알맞은 수학 공부 방법을 선택해야 합니다.

수학을 거의 포기한 수준이라면, 다음 여섯 가지 방법으로 수학 공부를 해야 합니다.

첫째, 현재 학교 수업 진도에 맞는 단원부터 공부한다.

둘째, 정의와 공식 그리고 정리는 무조건 암기를 하여야 한다.

셋째, 오늘 배울 교과서 단원을 미리 읽어 둔다.

넷째, 학교 수업시간에 집중하면서 참여해야 한다.

다섯째, 기본 문제를 풀고 대표 유형 문제와 그 풀이 방법을 암기하여 눈 감아도 떠오르게 만든다.

여섯째, 공부한 수학 내용을 10번 정도 반복해서 복습한다.

제4장 어떻게 풀어야 할까요?

수학 문제 해결을 위해서 가장 중요한 건 수학의 기본 개념과 공식, 용어의 정의, 기호 등을 완벽하게 이해하고 있어야 합니다. 그러기 위해서는 다양하고 특수한 유형의 문제풀이 방법까지 암기가 되어 있어야 합니다. 또한 복잡한 수학 문제 해결에는 끈기와 자제심이 절대적으로 필요합니다.

여기에서는 실전 문제와 문제 풀이가 자세히 나와 있습니다.

제5장 수학 잡설에서는 수학적 사고를 잘하기 위한 생각과 수학에 대한 흥미를 자극하는 방법 등을 알려줍니다.

제6장에는 2018학년도 대학수학능력시험 수학영역 문제 해결의 실제가 나와 있습니다. 문제마다 (기본), (중간), (고급), (최고급)이라는 난이도가 표시 되어 있습니다.

각 장마다 수학의 역사나 에피소드 등 재미있는 수학 이야기까지 실려 있어서 흥미롭습니다.

수학을 정말 잘 하고 싶은 학생이라면, 이 책을 보면서 엄청 고마움을 느낄 것입니다. 효과만점 수학 공부법, 이보다 더 세세하고 친절할 수 없을 것 같습니다.

소년은 지나간다

소년은 지나간다 - 스물네 개의 된소리 홑글자 이야기
구효서 지음 / 현대문학 / 2018년 10월

구효서 작가님의 <소년은 지나간다>는 산문집입니다.

책을 읽는 중간에 "창말 소년 구효서... 효서가 1957년 9월 18일에 세상에 나왔으니..."라는 구절을 읽고나서야 작가 본인의 이야기라는 걸 알게 됐습니다.

너무나 소설 같은 이야기라서 이 모든 이야기가 실화였다는게 더 믿기지 않습니다.

물론 작가님이 의도적으로 소설처럼 자신의 어린 시절을 그려낸 점도 있겠지만,  스물네 개의 된소리 홑글자로 된 스물네 편의 이야기라는 점에서 비현실적으로 느껴졌습니다. 이 방식이 얼마나 희한한지, 처음엔 어리둥절하다 못해 잠시 당황했습니다.

뻘  깨  뽕  뻥  깡  씨  꿀  쓰  빵  뚝  깽  찍  땜  뺨  쓱  꽃  때 쎄  떼  빡  뼈  뽁  떡  끝

각각의 된소리 홑글자마다 그 뜻을 설명하면서 그 글자가 주인공이 되어, 효서가 살고 있는 창말 마을 사람들에 대한 이야기를 들려줍니다.

그런데 이 책에서 가장 핵심적인 글자는 다름아닌, '저어쪽'입니다.

창말 사람들이 '저어쪽'이라고 말할 때는 턱으로 염하 건너편을 가리키는데, 그건 바로 저어쪽 북조선을 뜻합니다.

바닷가에 철기둥과 철조망이 들어서면서 '반공' 방첩'이 붙기 전에는 저어쪽 사람들이 몰려왔던 그 곳.

모두가 함부로 입에 담지 못하고 그저 '저어쪽'이라고 말하는 이유를 효서는 알지 못합니다.

다만 땜재이가 잡혀 들어갔던 게 '선연하다'라는 말 때문이라고 마을 사람들은 그렇게 알고 있습니다. 남들 잘 쓰지 않는 선연하다는 말을 쓰는 그가 수상해서 잡혀 들어간 것이라고. 창말 어른들은 좀처럼 쓰지 않는 말이라서 아마도 '저어쪽' 사람이라서 저어쪽 말을 쓴 것 같다는 게 땜재이의 죄목입니다.

그때는 모두 떼로 몰려오고 떼로 몰려가고 떼로 잡혀가고 떼로 죽고... 국방군, 인민군, 중공군, 미군, 영국군, 터키군, 호주군이 몰려올 때마다 마을 사람들은 혼비백산했을 것.

80명이 떼로 죽었다는 '80년 구데이'는 '80명 구덩이'였으며, 정확히는 83명 구덩이였다 합니다.

즌들이라는 마을의 사람들도 그렇게 떼죽음을 당했다는데, 그 시절 즌들 애들은 "아이시, 어~저~냐?"라는 떼창으로 창말 애들을 놀렸답니다. 의미를 알 수 없는 알나리깔나리지만 마을을 짓누르던 공포에 대한 애들만의 대응방식이었나 봅니다.

구효서 작가의 고향은 강화도라고 합니다. 강화도 사투리에는 된소리가 많이 들어가서, '진지 잡수셨습니까?'를 강화도 사투리로 하면 '진지 잡쒔씨꺄?'라고 합니다.

그래서 된소리 홑글자를 핑계 삼아서 어린 시절의 마을 이야기를 썼다고 합니다. 참혹했던 시절이라 차마 말로 할 수 없었던 일들을 된소리 홑글자로 이야기가 된 것입니다. 창말 소년 구효서는 그렇게 그 시절을 지나왔습니다. 스물네 편의 이야기가 싹둑 잘린 듯 느껴지는 이유는 원래 이어진 이야기가 아니라 『현대문학』에 연재되었던 에세이라서 그렇습니다. 다 읽고나서야 비로소 모든 이야기가 소년이 지나간 길이었음을, 우리의 아픈 현대사였음을 느꼈습니다.

우리가 매혹된 사상들

우리가 매혹된 사상들 - 인류를 사로잡은 32가지 이즘, 개정증보판
안광복 지음 / 사계절 / 2018년 11월

사람들은 왜 사상에 끌리는 걸까요?

저자는 그 이유를, 사상이 우리의 욕망을 정확히 꿰뚫고 있기 때문이라고 말합니다.

이 책에서는 인류를 사로잡은 32가지 '이즘(ism)'을 담겨 있습니다.

『우리가 매혹된 사상들』은 『교과서에서 만나는 사상』의 개정증보판입니다.

기존 원고에서 민주주의와 공산주의를 추가했다고 합니다.

책의 구성은 정치, 철학과 예술, 국가, 경제, 사회 분야로 나뉘어 각각의 사상들을 소개하고 있습니다.

● 정치 - 공화주의, 계몽주의, 민주주의, 보수주의, 자유 민주주의, 사회 민주주의, 아나키즘

● 철학과 예술 - 낭만주의, 니힐리즘, 실존주의, 구조주의, 해체주의, 포스트모더니즘, 사회주의 리얼리즘

● 국가 - 제국주의, 민족주의, 파시즘, 프런티어 정신, 대동아 공영권, 마오이즘, 주체사상

● 경제 - 자본주의, 공산주의, 개발 독재, 신유교 윤리, 신자유주의, 기업가 정신

● 사회 - 오리엔탈리즘, 페미니즘, 생태주의, 관료주의

우리가 알고 있는 사상들은 대부분 학교에서 배웠습니다.

그러나 안다고 생각하는 것과 정확히 아는 건 다릅니다. 이 책을 읽으면서 어설프게 알았던 사상들을 하나씩 제대로 이해하는 과정이었습니다.

저자의 말처럼 사상 그 이면에 숨겨진 인간의 욕망을 확인할 수 있었습니다.

사상은 사회를 무너뜨릴 수도 있고, 바로 세울 수도 있는 힘을 지녔습니다.

그래서 우리는 알아야 합니다.

책에 소개된 32가지 사상을 제대로 아는 것이 우리 시대를 진단하고 미래를 그려볼 수 있는 출발점이라고 할 수 있습니다.

실제로 공부하는 자세로, 밑줄을 그어 가면서 역사적 배경과 형성과정, 그 의미를 익혔습니다.

무엇보다도 각각의 사상마다 <철학 물음>과 <더 읽어 볼 책>이 있어서 심도있는 학습이 가능하도록 구성된 점이 좋았습니다.

이를테면 실존주의는 실존주의 철학자 사르트르가 말한 "실존은 본질에 앞선다."로 설명합니다.

인간에게는 무엇이어야 한다는 '본질'이 없기 때문에, 인간의 삶의 가치는 자유를 어떻게 썼는지에 따라 정해집니다.

즉 "인간은 자기 스스로를 실현하는 한에서만 실존한다"고 사르트르는 말합니다. 매 순간의 결정과 행동이 어느 누구도 빼앗지 못할 내 삶의 의미를 만들어 냅니다.

철학 물음 > 

 "나는 누구의 자식이며 누군가의 형제다. 어느 학교나 직장에 소속되어 있으며 학년, 또는 직위는 무엇이다."

여는 자기소개는 이렇게 이루어진다.

관계 속에서 내가 어디 위치해 있는지를 나타내는 식이다. 이렇게 말고 나 자신을 '그 자체'로 소개해 보라.

어떻게 하면 나 자신을 있는 그대로 드러내고 보여 줄 수 있을까?

더 읽어 볼 책 > 

★ 장 폴 사르트르, 『실존주의는 휴머니즘이다』

★ 어빙 D. 얄롬, 『실존주의 심리 치료』

★ 제이슨 델 간디오, 『다른 세상은 가능하다』   (125p)

결국 인류가 매혹되었던 사상들을 통해 역사는 흘러가고 있습니다. 이제 우리가 할 일은 밝은 미래를 위하여 사상을 목적이 아닌 좋은 도구로 활용하는 것이 아닐까 싶습니다.

나도 아직 나를 모른다

나도 아직 나를 모른다 - 뇌과학과 임상심리학이 부서진 마음에게 전하는 말
허지원 지음 / 홍익 / 2018년 10월

당신의 마음은 괜찮나요?

<나도 아직 나를 모른다>는 뇌과학과 임상심리학의 두 가지 측면에서 마음의 문제를 살펴보는 책입니다.

저자는 실제 상담 사례를 통해서 뇌과학 연구 결과를 설명하고, 임상심리전문가로서의 조언을 해줍니다.

"제 삶에 특별한 의미가 없다면 그냥 제가 없어도 되는 거잖아요.

제일 좋은 방법은 제가 인도 위를 걷다 자동차가 저를 덮쳐서 바로 죽는 건데,

그래서 저는 뉴스에서 사고로 누가 죽었다는 얘기가 나오면

이상한 희망 같은 것도 느끼고 그러다 죄책감도 느끼고...

아무튼 마음이 복잡해요."   (161p)

우울은 소리 없이 찾아와 우리 마음을 병들게 합니다.

사는 게 무의미하다는 내원자 T 는 자신의 우울이 진짜 우울인지 확인하기 위해서 상담을 받으러 왔다고 합니다.

우울의 증상들은 뇌에 흔적을 남긴다고 합니다.

2018년 기준으로 세계 여러 나라의 연구자들이 수집한 우울장애 환자의 뇌 영상 데이터를 분석한 결과,

주로 기억을 담당하는 양쪽 해마 hippocampus 와 동기· 학습· 감정과 관련된 정보를 처리하는 편도체 amygdala 및 전전두엽 prefrontal cortex 의 부피가 현저히 줄어든 것을 확인했습니다. 어머니에게서 우울증이 확인된 경우는 유전적, 환경적으로 우울증 고위험군으로 분류되는 자녀의 해마 부피도 확연하게 줄어들어 있다는 연구도 있었습니다. 

그런데 편도체의 부피가 줄어든 사람들이 보이는 문제 행동 중 주목할  건 바로 SNS 중독입니다.

외부 자극에 충동적으로 과도하게 반응하는 편도체를 가진 개인은 SNS에서 즉각적으로 확인되는 다양한 자극에 쉽게 마음을 빼앗기므로, SNS의 사용이 우울감을 높이는 작용을 하는 것입니다.

과학의 영역에서 우울이 남긴 뇌의 흔적을 옅게 하는 방법은 전전두엽과 편도체, 해마의 부피를 증가시키거나 해당 영역의 활동성을 높이는 것입니다.

구체적인 방법은 규칙적인 운동, 꾸준한 공부, 항우울제 복용, 과학적 근거에 기반한 제대로 된 심리치료입니다. 아마 다 아는 내용일 겁니다.

그러니까 우울이 찾아왔다면, '우울에 맞서 싸우겠다!' 대신에 '어, 왔어?'라는 자세를 취해 보라고 조언합니다.

나를 우울의 피해자가 아닌 우울을 맞아들이는 주체적인 집주인 모드로 준비시키라는 겁니다.

중요한 건 '왜?'를 고민하지 말고, 그냥 '어떻게'에만 집중하라는 겁니다.

어떻게 일할지, 어떻게 놀지, 어떻게 사랑할지, 어떻게 즐길지... 굳이 삶의 의미를 찾느라 골머리를 앓지 말라는 겁니다. 의미 없는 삶을 살아도 괜찮습니다.

다만 지치지 말고, 꾸준히 내게 좋은 일을 만들어 내거나 , 내게 좋은 순간을 놓치지 않으려는 자세면 충분합니다.

책에서 알려준 수많은 조언들 중에서 가장 좋았던 건 버터플라이 허그 butterfly hug 입니다.

자신의 양팔을 X자로 포개어 나 스스로를 토닥토닥 두드려주는 방법입니다. 그 누구의 위로가 아닌, 내가 나에게 해주는 위로입니다.

<나도 아직 나를 모른다>의 핵심은 '나를 알자!'가 아니라 '나를 몰라도 괜찮아!'입니다.

나를 모른다고 불안해 하거나 걱정할 필요가 없습니다. '과거의 나'에게 붙잡혀 있지 말고, '현재의 나'를 위하여 행복하게 살면 그뿐입니다.

오늘도 '나 잘하고 있어!'라며 스스로를 응원하고 인정해주면 됩니다. 내 인생의 주인공은 나, 뻔한 말 같지만 그걸 깜박 잊는 바람에 힘들었던 거랍니다.

사랑해, 나는 길들여지지 않아

사랑해, 나는 길들여지지 않아
앤드루 블룸필드 지음, 윤영 옮김 / 마리서사(마리書舍) / 2018년 11월

고양이를 사랑하는 사람들에게 이 책은 공감 그 자체일 것 같습니다.

그러면 고양이를 좋아하지 않는 사람들에겐 어떤 의미로 다가올까요?

그건 바로 감동입니다.

고양이라는 존재에 국한하지 않으면 모든 게 다르게 보입니다.

당신이 첫눈에 반한 상대를 떠올려보면 좋을 것 같습니다.

서로를 처음 만나기 전까지는 결코 그 사람을 사랑하게 되리라곤 상상조차 못했을테니까.

<사랑해, 나는 길들여지지 않아>는 앤드루 블룸필드의 삶에 들어온 길고양이에 관한 러브 스토리입니다.

사실 그는 고양이를 좋아하는 사람도 아니었다고 합니다.

전혀 관심조차 없던 고양이, 그것도 야생고양이로 인해서 인생이 송두리째 바뀌게 되었으니 정말 신기하고 놀랍기만 합니다.

이 이야기는 20년에 걸쳐 길고양이에게 헌신하다가, 결국에는 사랑에 빠진 한 남자의 실화입니다.

고양이의 이름은 타이니.

그는 언제나 누군가를 위해 적어도 한 번이라도 이 한 몸을 온전히 다 바쳤으면 좋겠다고 바래 왔는데, 그 상대가 고양이가 될 줄을 몰랐다고 합니다.

앤드루에게 있어서 타이니는 들이마시고 내쉬는 숨결이며 삶의 진정한 목적입니다. 이제서야 비로소 앤드루는 자신이 고양이를 좋아하는 사람이었음을 인정합니다.

좋아할 뿐 아니라 사랑한다고.

누군가를 사랑한다는 건 단순한 감정의 작용뿐 아니라 인생을 흔드는 엄청난 사건인 것 같습니다.

이 책을 통해서 새로운 방식의 사랑을 배운 것 같습니다.

앤드루는 길고양이 타이니를 길들일 수 없다는 걸 알기 때문에 있는 그대로를 사랑합니다. 사랑은 우리 인생에서 피할 수 없는 운명처럼 다가오는 것 같습니다.

그는 승려이자 스승 아잔 차에게 많은 걸 배웠지만, 진짜 그 의미를 깨닫게 해 준 건 타이니가 아니었나 싶습니다.

사랑은 늘 그렇듯이, 우리가 숨 쉬는 이유를 알려줍니다. 앤드루와 타이니, 정말 아름다운 인연인 것 같습니다.

한밤중에 들려오는 힘없는 울음소리.

밤새 이어지는 그 울음소리을 찾아가보니 쓰레기통과 재활용품 통 사이에 털도 온전히 나지 않은 조그만 새끼 고양이가 끼어 있습니다.

겨우 7~8센티미터도 안 되는 새끼 고양이는 꿈틀거리며 조용히 눈을 감고 있습니다.

앤드루는 고양이를 상자 안에 넣어 가장 가까운 응급 동물병원에 데려갑니다.

접수원이 서류를 작성하며 고양이의 이름을 묻습니다.

"타이니예요!"

동거인 헤더가 불쑥 대답합니다.

수의사는 암컷 삼색 고양이를 진료하더니 앞으로 몇 시간 밖에 살지 못할 거라고 말합니다.

앤드루와 헤더, 소피는 새끼 고양이 타이니를 위해서 할 수 있는 것이라면 뭐든 하기로 합니다.

며칠 동안 세 사람은 지극정성으로 타이니를 보살핍니다.

타이니가 한결 건강해지자 앤드루는 근처 동물병원에 데려갑니다. 목 옆쪽에 커다란 종기가 있기 때문입니다.

동물병원 과장이 나타나 단호한 표정으로 말합니다.

"버려진 고양이를 데려오는 사람이 많죠. 그리고 여기 버리고 갑니다.

혹시 여기 버리고 가실 거면 받지 않겠어요.

이 고양이를 전적으로 책임을 질 계획입니까?

당장 응급처치만 하는 게 아니라, 이 고양이의 남은 평생을 돌볼 거냐고요."

앤드루는 바로 그 순간 삶의 갈림길에 서 있는 기분이었고, 지금까지와는 전혀 다른 삶이 영원히 펼쳐질 것만 같은 느낌이 듭니다.

그리고 자신도 모르게 불쑥 내뱉어 버립니다.

"그럼요! 할 거예요! 합니다!"  (43p)