일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 미적분 편

일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 미적분 편 ㅣ 일상의 무기가 되는 수학 초능력
오오가미 다케히코 지음, 이인호 옮김 / 북라이프 / 2019년 7월

슈퍼 히어로가 멋져 보이는 이유는 그들이 가진 초능력!

그런데 수학 초능력이라고?

음, 뭣에 쓸 수 있으려나~~

이 책은 《일상의 무기가 되는 수학 초능력》시리즈 중 '미적분'을 다루고 있어요.

우선 미적분은 별을 관측하면서 시작된 학문이라고 해요.

고등학교에서 배웠던 미적분을 떠올리면 눈앞이 캄캄해지는 것 같아요.

그건 미적분에 대해 아는 게 거의 없다는 뜻 ㅋㅋㅋ

지금이야말로 내 머릿속 암흑기에 빠진 미적분을 구해내야 할 때인 것 같아요.

바로 이 책으로 말이죠.

아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠가 미적분을 발명한 결과, 현재는 대학교 교육과정 수준의 계산으로 별의 움직임을 알 수 있게 되었대요.

그밖에도 미적분학은 물리학과 다양한 분야에서 세밀한 현상을 이해하는 데 활용되고 있어요.

우리가 미적분에 대해 알아야 할 건 문제 풀이 방법이 아니라 처음 식을 만들 때의 상황을 제대로 이해하는 일이에요.

책에서는 미적분의 기초 용어에 대한 설명부터 미분을 통해 알 수 있는 것과  적분을 통해 알 수 있는 것을 차례대로 설명해주고 있어요.

현재 미적분학에서 주로 사용하는 적분 기호인 ∫ (인테그랄)​은 라이프니츠가 고안했대요.

먼저 미분은 '잘게 나누는 일'이에요. 무엇을 잘게 나눌까요? 

예를 들어 TV, 스마트폰, 컴퓨터 등 각종 스크린 화면을 아주 커다랗게 확대해보면 빛나는 작은 점들로 이루어져 있어요. 어떤 점 1개와 그 이웃 점은 보통 서로 비슷한 색이라는 사실을 이용해서 이미지 파일의 크기를 줄이는 기술​을 이미지 압축이라고 해요. 이웃한 점끼리 색이 다른 경우, 색이 전혀 다른 장소를 찾아내는 기술을 윤곽 검출이라고 해요. 이는 엄밀하게 따지면 미분은 아니지만 '잘게 나눈 뒤 그 성질을 파악하여 처리한다'라는 사고 방식 자체는 미분과 유사하다고 할 수 있어요.

다음으로 적분은 '잘게 나눈 것을 모으는 일'이에요. 적분과 미분은 서로 '반대 연산' 관계예요. 예를 들어 모양이 복잡한 어떤 도형의 넓이를 구하려면 디지털 카메라를 이용할 수 있어요. 넓이를 구하고 싶은 도형과 넓이를 이미 알고 있는 종이를 함께 디지털카메라로 촬영한 후 두 개를 비교해보는 거예요. 도형 안쪽에 있는 점들의 개수를 전부 센 다음 이미 알고 있는 것 안에 있는 점들의 개수를 넓이로 환산하면 복잡한 도형의 넓이를 구할 수 있어요.

미적과 적분을 설명하려면 좌표를 알아야 돼요.

좌표란 적당한 축과 눈금으로 위치를 표현하는 것이에요. 눈금의 폭과 눈금의 의미는 좌표를 통해 표현하려는 대상이 무엇인가에 따라 달라져요.

수학에서는 ​축에 x 나 y 등의 이름을 붙여 평면상에서의 점의 위치를 나타내곤 해요.

x 축과 y 축으로 이루어진 평면을 xy 평면이라고 해요. 이때 xy 평면 위의 점을 'x 값과 어떤 관계식을 통하여 구한 y 값'으로 설명한다면 이는 '함수'를 이용한 거예요.

함수는 집합과 집합을 이어 주는 것을 말해요. 함수는 영어로 function 이라서, 함수를 수식으로 나타날 때 영어의 머리글자를 따서 f​ (x) ​라고 적어요. 이는 x 에 관한 함수라는 뜻이에요.

함수의 식을 알면 그래프를 그릴 수 있어요. 그래프로 나타내면 x 와 y 의 관계를 한눈에 파악할 수 있어요.

 ​f​ (x) ​에서 f​ ' (x) ​를 만드는 방법을 미분이라고 해요. 어떤 함수에서 기울기를 구하는 함수(유도함수)를 만드는 일이 미분이에요.

미분은 기본 규칙을 알면 계산이 수월해져요. ​그러니까 미분 공식을 알면 훨씬 빠르게 미분할 수 있어요.

적분은 원래 '극한'의 개념을 통해 계산해야 했지만 라이프니츠의 발견 덕분에 미분을 통해서도 적분을 구할 수 있게 되었어요.

함수 f​ (x) 를 '적분한 다음 미분하면 원래대로 돌아온다'는 뜻이에요.

하지만 미분과 적분은 '완전한' 역연산은 아니에요.

일반적으로 어떤 식을 '적분한 다음 미분하면' 원래의 식으로 돌아오지만, '미분한 다음 적분하면' 원래의 식으로 돌아오지 않아요. 이는 최초로 미분한 시점에서 상수항에 관한 정보를 잃어버리기 때문이에요.

이 책을 보고나니 '미적분'은 그 자체로 슈퍼 히어로인 것 같아요.

미적분의 발명으로 별의 궤도를 계산해서 우주 비행까지 가능해졌으니까요.

이토록 멋진 미적분이라는 초능력을 언제쯤 사용하게 될지는 미지수예요~~

일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 수학의 정리 편

일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 수학의 정리 편 ㅣ 일상의 무기가 되는 수학 초능력
고미야마 히로히토 지음, 김은혜 옮김 / 북라이프 / 2019년 7월

학창 시절에는 수학을 그다지 좋아하는 학생이 아니었는데, 오히려 어른이 된 후에 수학에 대한 관심이 생겼어요.

평상시에 즐기는 퀴즈나 퍼즐이 수학을 기반으로 한다는 점에서 수학의 재미를 조금 알게 된 것 같아요.

<일상의 무기가 되는 수학 초능력 : 수학의 정리편>은 어려운 수학 공부가 아닌 재미있는 수학 이야기를 들려주는 책이에요.

수학의 정리란 무엇일까요?

여기에서 정리(定理)라는 용어부터 짚어보면, 공리와 정의로 도출해 참으로 증명된 수학적 사실이라고 해요.

앗, 공리는 뭐고 정의는 또 뭘까요?

공리는 증명 없이 참으로 받아들이는 명제이고, 정의는 수학용어나 기호에 대하여 그 의미를 규정한 것이에요.

어떤 명제가 참임을 밝히는 증명을 하는 것이 수학의 최종 목표라는 점에서 정리는 수학적 사고에 있어서 궁극의 도달점이라고 할 수 있어요.

수학에서 '○○의 추측'이라는 표현은 증명하지 못한 정리를 뜻해요. 증명이 되어야 비로소 '정리'라고 불러요.

이렇듯 수학용어부터 하나씩 친절하게 설명되어 있어요.

수학책이지만 숫자보다는 글씨가 더 많은 수학 이야기책이라서 가벼운 마음으로 읽을 수 있어요.

실제 책 크기도 작고 가볍다는 점!

일단 책의 구성이 깔끔해서 보기가 편해요.

기본적인 수학용어 설명부터 대표적인 수학의 정리, 그다음은 일상에서 만나는 다양한 수학 정리를 차근차근 알려주고 있어요.

'한눈에 파악하기'라는 코너는 어쩌구저쩌구 말로 설명한 내용을 간단하게 그림과 키워드로 요약해주는 거예요.

예를 들어, 피타고라스의 정리와 페르마의 마지막 정리는 다음과 같아요.

▶ 피타고라스의 정리

∠C가 직각인 직사각형 ABC에서

직각을 낀 두 변의 길이를 a , b 라 하고,

빗변의 길이를 c 라 했을 때

이 관계는 a² + b² = c²  이다.

■  페르마의 마지막 정리

 피타고라스의 정리를 발전시켜 일반화한

Xⁿ +  Yⁿ = Zⁿ (n ≥ 3)

n 이  3 이상의 자연수일 때, 이 식을 만족하는

자연수 X , Y , Z 는 존재하지 않는다.

▦  약 360여 년 후 (1995년) , '페르마의 마지막 정리'를 증명한 영국의 앤드류 와일즈는 불과 10세 때 도서관에서 처음으로 이 문제를 접했다고 한다. 

그렇다면 '수학의 정리'가 어떻게 일상의 무기가 될 수 있을까요?

가장 널리 알려진 피타고라스의 정리는 거리와 속도를 구할 때 자주 사용하고, 사인 법칙은 토지를 측량할 때, 두 지점 간의 거리를 잴 때 장애물이 있다면 코사인법칙을 사용하여 계측해요.  휴대전화 시스템은 주파수에 따라 전파 간 혼선이 발생하지 않도록 근접 영역 안에는 동일한 주파수 기지국을 설치하지 못하도록 분류하는데, 이때는 '4색정리'를 활용한다고 해요.

각 챕터마다 컬럼과 재미있는 수학자 이야기가 나와 있어서 신기한 수학적 지식도 쌓을 수 있어요.

마지막으로 수학이 재미있어지는 수학퍼즐 7개는 수학 초능력자라면 거뜬히 풀겠지만, 초보자라도 저자의 조언대로 정답을 보지 않고 천천히 다양한 방식으로 접근해보면 좋을 것 같아요. 세상에서 가장 재미있는 수학퍼즐은 내가 푼 수학퍼즐?

이집트에서 24시간 살아보기

이집트에서 24시간 살아보기 - 3000년 전 사람들의 일상으로 보는 진짜 이집트 문명 이야기 ㅣ 고대 문명에서 24시간 살아보기
도널드 P. 라이언 지음, 이정민 옮김 / 매일경제신문사 / 2019년 6월

세계 여러 나라 중에서 유독 이집트는 신비로운 느낌이 들어요.

21세기를 살고 있어도 제 머릿속의 이집트는 왠지 고대 이집트 문명이라는 역사적 시간에 머물러 있는 듯 해요.

마침 <이집트에서 24시간 살아보기>라는 책을 봤을 때 얼마나 반갑던지...

우리가 교과서로 배웠던 이집트에 대한 모든 것들이 흥미로운 이야기로 펼쳐지는 책이에요.

우선 이 책에서 경험할 시대적 배경은 고대 이집트의 제18대 왕조이자 아멘호테프 2세 재위 12년에 접어든 기원전 1414경이에요.

이집트 제국 건설이 한청이던 그 때, 정치와 종교의 수도였던 테베를 배경으로 24시간을 24개의 이야기로 만나볼 수 있어요.

고대 이집트인들은 낮과 밤을 각각 12시간으로 분배했고, 일몰에서 일몰까지를 하루로 계산했대요.

하지만 이 책에서는 현대의 방식으로 자정을 하루의 시작으로 하고 있어요.

밤의 일곱 번째 시간(0:00~1:00) - 밤의 여덟 번째 시간(1:00~2:00) - 밤의 아홉 번째 시간(2:00~3:00) - 밤의 열 번째 시간(3:00~4:00) - 밤의 열한 번째 시간(4:00~5:00) - 밤의 열두 번째 시간(5:00~6:00) - 낮의 첫 번째 시간(6:00~7:00) -  ...    - 낮의 열두 번째 시간(17:00~18:00) - 밤의 첫 번째 시간(18:00~19:00) - 밤의 두 번째 시간(19:00~20:00) - ...   - 밤의 여섯 번째 시간(23:00~0:00)

각각의 시간마다 등장하는 인물들이 참으로 다양해요.

도굴꾼, 파라오 아멘호테프 2세와 그의 부인 티아, 미라를 만드는 장의사, 노병, 사제, 농부, 주부, 오벨리스크를 만드는 감독관, 어부, 도공, 어린 소년, 고관대작과 대저택의 안주인, 파라오의 그늘을 책임지는 부채지기, 죽은 자를 배웅하는 전문 울음꾼, 파라오의 무덤 설계를 감독하는 건축가, 목수, 포로로 끌려와 벽돌공으로 일하는 시리아인들, 보석 세공사, 소녀 댄서, 의사와 산파.

현대인의 시각에서 바라보면 그들의 삶은 신기해요. 그러나 이 책에서 들려주는 고대 이집트인들의 일상은 단순해보여요. 각자의 위치에서 매일 반복되는 일상을 보내고 있어요. 재미있는 건 등장하는 인물들이 저마다의 특징과 이야기를 갖고 있어서 꽤 현실감 있게 그려졌다는 거예요.  빵과 맥주를 만드는 주부는 아침부터 저녁까지 고단한 하루를 보내고 있어요. 남편과 함께 일하는 동료가 저녁식사 자리에 나타나 그녀가 열심히 만든 맥주를 눈치없이 마셔댈 때... 그녀는 이따금 자신의 삶에 감사할 일이 없다고 느낀다는 표현에서 웃음이 터졌어요. 이런 내용도 기록으로 남아있나? 

저자는 고고학자로서 이집트학 연구를 바탕으로 구체적인 이야기를 구성했다고 하니, 각 인물들의 감정이 전부 상상만은 아닐 것 같아요.

무엇보다도 이 책에서는 고대 이집트 문명에 관한 지식뿐 아니라 이야기를 통해서 생생한 일상을 보여주고 있어요.

위대한 파라오가 고민 때문에 잠 못 이루는 모습이나 도공과 사랑에 빠져 결혼한 귀족 여인이 고단한 현실에 지친 모습은 어딘지 익숙해보여요.

새롭게 알게 된 역사적 지식도 흥미롭지만 고대 이집트 사람들의 일상 이야기는 굉장히 신선한 접근이었어요.

그야말로 타임머신을 타고 시간여행을 간 것처럼 고대 이집트에서 놀라운 24시간을 보낸 것 같아요.

사이토 다카시의 말로 성공하는 사람의 대화법

사이토 다카시의 말로 성공하는 사람의 대화법 - 15초 동안 아낌없이 전하는 지적 대화의 기술
사이토 다카시 지음, 황소연 옮김 / 소소의책 / 2019년 7월

"말 못하는 사람은 어마무시하게 손해를 본다!" 라고 사이토 다카시는 말합니다.

뒤집어 말하면, 말 잘하면 얻는 게 많다는 뜻입니다.

그만큼 요즘 시대는 말로 표현하는 일이 중요해졌습니다. 즉 표현력이 인물 평가로 이어지는 시대라고 할 수 있습니다.

지식이 아무리 많아도 표현력이 서툴면 생각이 없는 사람으로 오해받거나 안 좋은 평가를 받습니다.

반면 지식은 부족하지만 말 잘하는 사람은 그때그때 분위기를 부드럽게 만드는 인재로 주목받을 수 있습니다.

이 책은 말솜씨가 부족한 사람을 위해서 바로 써먹을 수 있는 대화의 기술과 조금 시간은 걸리지만 지식과 함께 언어력을 쌓아가는 방법을 알려줍니다.

<말로 성공하는 사람의 대화법>을 배우기 위해서는 책에 나오는 그림을 이해해야 합니다.

이름하여 '지식과 언어의 매트릭스!' 그림입니다.

그림의 세로축은 지식량을 나타내며 위로 갈수록 지식이 풍부하고 아는 게 많은 교양인을 뜻합니다.

가로축은 말솜씨를 나타내며, 언어구사능력 줄여서 언어력이라고 표현하며 오른쪽으로 갈수록 말 잘하는 달변가를 뜻합니다.

그림은 네 구역으로 나뉘고, 각각 A , B , C , D 라고 구분해서 부릅니다.

● A =  알고 있는 지식을 말로 표현하지 못하는 사람.  지식은 충분하나 대화의 기술, 언어력이 부족해서 안타까운 정체 구역.

● B = 지식도 부족하고 말도 못하는 사람!  지식과 언어력 모두 부족한 경우라서 엄청난 노력이 필요한 노력필요 구역.

● C =  알고 있는 지식을 말로 능숙하게 표현하는 진정한 능력자!  지식과 언어의 매트릭스에서 가장 이상적인 최고의 이상향.

● D =  지식은 부족해도 말은 잘하는 사람, 즉 잘 모르는 화제라도 대화를 그때그때 잘 이끌어갈 수 있는 사람. 안성맞춤 구역.

네 가지 유형에서 누구나 C 유형에 속하고 싶지만, 냉정하게 자신의 B 유형이라면 두 가지 해결책이 있습니다.

B에서 A로 가는 길과 B에서 D로 가는 길인데 서로 비교해보면 전자 쪽은 시간이 더 많이 걸립니다.

지식을 늘리는 일은 하루 아침에 이뤄지지 않기 때문입니다.

따라서 그때그때 도움이 되는 안성맞춤 대화법을 우선 목표를 삼는 것이 훨씬 효율적입니다.

구체적인 방법을 보면서 '아하, 이런 표현법이 있었네~'라며 하나씩 발견하듯 배운 것 같습니다. 

책에 소개된 달인들을 보면 지식의 깊이는 크게 중요하지 않고 소통을 위한 열린 마음이 중요한 것 같습니다.

상대방에게 모르면 물어봐서 배우고, 맞장구로 분위기를 고조시키며, 꽉 막혔을 때는 느낌대로 말하면서 다양한 대화의 기술을 활용하면 그때그때 적절한 분위기를 이끌어갈 수 있습니다.

왠지 달변가는 타고난 능력처럼 생각했는데, 이 책을 읽으면서 누구든지 대화의 기술을 제대로 알고 노력하면 달변가가 될 수 있다는 자신감이 얻었습니다.  당장은 D 유형이 목표지만 최종적으로 C유형을 향해  차곡차곡 지식을 쌓아갈 생각입니다. 행복한 소통을 위한 달변가!

스크린 영어회화 : 알라딘

스크린 영어회화 : 알라딘 (스크립트북 + 워크북 + MP3 CD 1장) - 30장면으로 끝내는 ㅣ 스크린 영어회화 시리즈
라이언 강 해설 / 길벗이지톡 / 2019년 6월

근래 영화 <알라딘>을 가족과 함께 봤어요.

와우~~ 멋져라~~

신기한 건 알라딘의 마법이 아이들에게 통했나봐요. 영화가 주는 감동~

영화의 명장면, 명대사를 따라 해보고 싶다고, OST도 불러보고 싶다면서 영어공부를 해야겠다는 거예요.

그리고 디즈니 영화 <알라딘>도 소환했어요.

세월이 흘러도 여전히 아름답고 멋진 영화라서 보고 또 봐도 매번 감동을 주는 것 같아요.

무엇이든 다 때가 있는 것 같아요. 이른바 티핑포인트!

이제껏 디즈니 영화는 더빙된 것으로 볼 정도로 영어에 별 관심이 없던 아이가 알라딘을 기점으로 퐝!!!

<스크린 영어회화 : 알라딘>은 영화의 전체 대본이 수록된 국내 유일한 책이에요.

한 권의 책인 줄 알았는데 분철이 가능한 2권으로 구성되어 있어요.

스크립트북과 워크북 그리고 mp3 CD.

교재에 들어있는 mp3 CD는 디즈니 추천 성우의 목소리라서 정확한 발음을 확인할 수 있어요. 오디오 파일에는 대사만 녹음되어 있어요.

당연한 얘기지만, 이 책에 영화 DVD는 없어요.

처음부터 영화에 빠져서 영어공부를 도전하는 사람이라면 영화 DVD는 필수겠죠?

스크립트북은 전체 대본과 번역은 기본이고, 주요 표현과 단어가 책 하단에 정리되어 있어요. 스크립트북에서 "바로 이 장면!"이라고 된 부분들만 모아 놓은 것이 워크북이에요. 영화 전체 내용을 30일 분량으로 나누어 매일 각 Day 마다 학습할 수 있어요. 영화 스크립트를 직접 보니까 더욱 재미있어요. 장면마다 하나도 빠짐없이 머릿속에 넣을 수 있을 것 같아요. 스크립트북으로 전체 내용을 학습하고, 배운 내용을 복습하는 차원에서 워크북을 활용해요.

워크북에는 전체 대본에서 뽑은 30장면을 집중적으로 학습할 수 있어요. 일상 회화에서 유용한 표현들을 중심으로 친절한 설명과 예문이 나와 있어요. 특히 영화 속 패턴 익히기는 기본 패턴을 익히고나서 응용하고 일상 대화에서 적용하는 훈련을 할 수 있어요.

마지막으로 그날 배운 표현과 패턴을 확인해보는 문제가 나와 있어요. 교재를 보면 다 아는 것 같아도, 막상 문제로 접하면 생각이 안 날 때도 있어요. 그러니까 언제든지 바로 말할 수 있을 정도로 학습하고 말하는 훈련을 하는 것이 중요한 것 같아요.

가족 모두가 함께 <스크린 영어회화>로 영어공부를 할 수 있어요.

영화 <알라딘>의 전체 대본을 볼 수 있는 것도 좋고, 그 영화 장면들로 영어회화까지 마스터할 수 있으니 정말 만족스러워요.

무엇보다도 영화에서 딱 30장면을 집중적으로 공부하면 전체 대본을 학습하는 것만큼의 효과가 있다고 하네요.

교재에 설명된 3단계 훈련법은 ① 핵습 표현 설명을 읽고 이해하기, ② 패턴으로 표현을 확장하는 연습하기, ③ 배운 표현들을 문제를 통해 확인학습하기 라고 해요.

체계적인 3단계 훈련으로 영화 속 표현들을 내 것을 만드는 것이 목표라고 할 수 있어요.

또한 신나고  즐거운 음악이 곁들여진 <알라딘>의 매력을 자막 없이 느껴보는 것이 개인적인 목표예요.

영어공부에 대한 부담감은 내려놓고 <스크린 영어회화>로 재미있게 영어를 배워보세요.