수학자가 들려주는 수학 이야기
21. 칸토어가 들려주는 무한 이야기
이 미지의 세계에 제대로 발 디딘 사람이 바로 수학자 '칸토어'였습니다. 남들이 잘 다루지 않는 무한을 주제로 삼으면서 새로운 증명 방법을 사용하여 자꾸만 놀라운 성질들을 이야기했으니 수학자로 받아들이기 힘들어했지만 곧 칸토어를 지지하는 사람들이 많아졌고 이제는 그가 세운 '집합론' 이 현대 수학의 기초라고 불리기까지 합니다.
칸토어를 소개합니다.
집합론의 아버지 칸토어!! 무한집합을 다루어 수학의 새로운 세계를 연 사람은 칸토어가 처음이었지요.
수학을 새로운 낙원으로 이끈 '집합론' 을 논문으로 처음 발표하기 시작했습니다. 후에 집합론을 크게 인정받게 되었지만 그 당시에는 충격적인 이론으로 여겨지면서 시련이 시작되었습니다. 칸토어가 발표한 논문에 등장하는 무한이 문제였다고 해요~
3년의 세월을 허비하며 직선과 평면 위 점의 개수가 같다는 사실까지 알아내었어요.
"수학의 본질은 자유에 있다."
유한집합과 무한집합
미리 알면 좋아요
1. 수학의 개념, 명제, 계산의 뜻을 나타내기 위해여 쓰이는 부호, 문자, 표지 따위를 통틀어 이르는 말
-> 우리는 기호 +, -가 덧셈, 뺄셈을 나타낸다는 것을 잘 알고 사용하고 있습니다.
2. 1, 2, 3 등과 같이 1부터 시작하여 하나씩 더하여 얻는 수를 통틀어 이르는 말.
-> 자연수는 수의 발생과 동시에 있었다고 생각되는 가장 소박한 수입니다. 그런데 자연수로 계산을 해 보면 사실 덧셈과 곱셈은 자유롭게 할 수 있지만, 뺄셈과 나눗셈을 할 경우 계산의 답이 자연수로 나오지 않는 경우가 생깁니다.
수업 정리
① 집합 주어진 기준이나 조건에 의하여 그 대상을 분명히 말할 수 있는 모임
② 집합을 나타내는 방법 원소를 일일이 나열하여 표현하는 '원소나열법' 과 집합을 이루는 데 필요한 조건을 제시하여 나타내는 '조건제시법' 이 있어요.
③ 집합 기호
· 두 집합 사이에 '포함한다' 부분집합. 기호 '⊂'를 사용
· 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합을 교집합. 기호 '∩' 나타냄
· 모든 원소들로 이루어진 집합을 합집합. 기호 '∪' 로 나타냄
· 집합 A의 원소의 개수를 나타낼 때 'n(A)' 라 합니다. 이것은 집합 A의 원소의 개수를 의미합니다.
④ 집합의 종류 어떤 집합 원소의 개수가 유한개일 때 '유한집합', '무한개일 때 '무한집합' 이라고 합니다. 원소가 아무것도 없는 집합은 '공집합' 이라고 합니다. 공집합은 모든 집합의 부분집합이며 유한집합으로 분류
집합의 기수
미리 알면 좋아요
1. 일반적으로 어떤 두 대상이 주어진 관계에 의ㅣ하여 서로 짝을 이루는 것. 수학에서는 두 집합 사이에서 한 집합의 원소에 다른 집합의 원소가 하나씩 정해지는 것으 가리킴.
예) 연필 한 자루 가격이 500원 연필 2자루는 500X2= 1000원, 연필 10자루는 500X10= 5000원
2. 한 개씩 낱으로 셀 수 있는 물건의 수
-> 가지고 있는 물건의 양을 비교할 때 개수를 세는 것은 가장 쉬운 방법
수업 정리업 정리
① 대응 두 집합 A, B가 주어지고 집합 A의 원소에 대하여 집합 B의 원소가 정해질 때 A에서 B로 대응한다고 함
② 일대일 대응 집합 A에서 집합 B로의 대응에서 A의 한 원소에 B의 단 하나의 원소가 대응하고, B의 임의의 한 원소에 A의 원소가 단 하나 대응하는 것을 말함
③ 대응 두 집합 사이에 일대일 대응이 이루어질 때 두 집합을 '대응하다' 고 하고, 그 기호로 '~'를 사용
④ 위수 유한집합 원소의 개수를 '위수' 라고 합니다. 어떤 유한집합이든 위수가 0이거나 자연수 하나에 대응한다. 두 유한집합이 일대일 대응이면 두 집합의 위수가 같다.
그림에서 어렵지 않게 배우는 집합 수업이 선행하기에 너무 좋은 것 같아요. 어려운 수학의 용어도 낯설지만 알아가는 수업이라고 생각하면서 여러 번 읽으면서 공부할 수 있어요 ^^
집합과 무한이라는 어려운 수학을 칸토어선생님께 9번의 수업을 받게 되었어요. '무한'이라는 어디까지를 얘기하는지 알고 싶은 호기심에 빠져 즐겁게 수업을 하다 보면 무한의 아름다움까지 알 수 있다고 해요!!